skrypt

F 11.1 RACJA INNOWACYJNA I MODELOWANIE SIOCMASTYCZNE SYGNAŁÓW _Moojlowan,e stochastyczne sygnałów onuoiFon _n,_emi

funkcja ta mnie być w razie potrzeby wyznaczona np. przy użyciu algorytmu „ Levinsona (2.J60)-(2 161). Pokazano to w Przykładzie 7.4 w rozdziale 7. pre-jjfź zcntując implementację algorytmu wyznaczania górnoirójkątnej macierzy od- 'A powiedli impulsowych filtru Levinsona na podstawie zbioru współczynników |g Schura, wraz z przykładowymi wynikami symulacji.

9

4.2. Modelowanie stochastyczne sygnałów drugiego rzędu

7 zależności (4 I7)-(4.I8) oraz z rozważań w punkcie 2.2.4 wynika idea tzw. modelowania stochastycznego (czyli cyfrowej syntezy) sygnału losowego y. bowiem szum biały, podany na wejście filtru odwrotnego A_p względem film. innowacyjnego (patrz rys 4.2). generuje na jego wyjściu sygnał y który jest stochastycznie równoważny (w słabym sensie statystyk rzędu 2-go) sygnałów, oryginalnemu y. zgodnie z zależnością

I

(4 23) 3Ś

względu na trajektorię czasową (realizację) sygnału. Dlatego teł w praktyce np. w systemach cyfrowej syntezy mowy w celu uzyskania dobrej Jakości syn-<^ocen,ai'ei Subiektywnie), wykorzystując przedstawioną idee modelowania sygnału, w sposób specjalny dobiera się sygnał wejściowy filtru modelującego

Rozwiązanie problemu modelowania stochastycznego sygnału 2-go rzędu suro wadza się więc. jak widać, do wyznaczenia filtru odwrotnego A:' względem filtru innowacyjnego A_r. Przypomnijmy jednocześnie, że znajomość jedynie współczynników Schura (4 21) umożliwia jawne wyznaczenie transmi.ancji A a warunkiem koniecznym , wystarczającym jej stabilnej odwracalności jesi

IP.I 0,1-1-----p (spełnienie tego wymagania wynika w oczywisty sposób

z interpretacji współczynników Schura, jako iloczynów skalarnych elementów unormowanych, zgodnie z (2.231). (2.276) lub (2.304)). Stąd wniosek, że problem filtru modelującego można by rozwiązać w sposób następujący:

I Ap

Szum biały

y(0

► mając zbiór współczynników Schura (4.21). wyznaczyć transmitancję A za pomocą algorytmu Levinsona (2 160) (2.161).

» uwzględniając stabilną odwracalność funkcji A_p, wyznaczyć w jawnej postaci transmitancję A~^[

Rys. 4.2

1

Modelowanie stochastyczne (cyfrowa synteza) sygnału

Dlatego też filtr z rys. 4.2 jest często zwany filtrem modelującym łub filtrem | kształtującym, bowiem przekształca on widmową gęstość mocy białego szumu w widmową gęstość mocy modelowanego sygnału

• przeprowadzić syntezę A_p ¹ standardową metodą (tj.. dokonując wyboru struk tury filtru modelującego i wyznaczając jej parametry)

Możemy, jednakowoż, podejść nieco inaczej do rozwiązania problemu filtru modelującego (171. W tym celu rozważmy czwómik opisany łańcuchową macierzą rozproszenia ©_r (patrz rys. 4.3); tj mamy

lil-Mil-l

©II ©12 1 f óo 1

©21 ©22 I I 00

(4.24)

Uwiga 1*7 powyższego rozumowania wynika, źe dokładne rozwiązanie pro-_bl€mu wybielania i modelowania w sensie statystyk rzędu drugiego iw klasie rozważanych tu,aj modeli AR. tj. modeli auloregresyjnych) uzyskuje się dla sygnałów losowych, których widmowa gęstość mocy jest faktoryzowalna w senste (4.17). Klasę modeli można rozszerzyć na tzw. modele ARMA. w których wymierna iransmitańcja A_p jest elementem typu 'outer' klasy Hardy'ego H‘ (23) (tj stabilnie odwracalną funkcją minimalnofazową) Wówczas, gdy widmowa gęstość mocy W_y nie jest funkcją wymierną - otrzymuje się rozwiązanie aprok-symaćyjne problemu modelowania stochastycznego.

_Uwaga 2- Podkreślmy, że omawiana metoda cyfrowej syntezy sygnału umożti przeprowadzenie tej syntezy ze względu na statystyki 2-go rzędu, nie zaś ze

wia

a więc

A_p — ©n-4o +©i20o

(4.25)

óo-

00-

RYS 4 3. Czwómik opisany łańcuchową macierzą rozproszenia

101

100

(dliii

iiiinni

Filtracja innowacyjna i modelowanie stochastyczne sygnałów

Mooelowanie stochastyczne sygnałów drugiego rzędu

Zauważmy, źe jeśli ©_p jest macierzą ./-ortogonalną (./-unitarną) ©,,/©* = J. to macierz Z_r jest macierzą ortogonalną (unitarną); tj

£

Z_P*r = '

(4 34)

- B_p

Zauważmy również, że z (4.29) i z (4.33) otrzymujemy

Rys. 4.4. Czwómik opisany macierzą rozproszenia Bp = ©21^0 + ©22 00 skąd wniosek, że

(4.26) ■

Ao

~7~ i — £| i — ©u

A_p I Rq~q

(4 35)

=0.

Ao

m

(4.27)18

Z porównania (4 27) oraz (4.35) wynika zatem, ż.e - przy warunku całkowitego rozproszenia na wejściu (Bq = 0) - o ile ©u stanowi ./-ortogonalną realizację transmitancji A_p filtru innowacyjnego (jeśli /lę = D.¹⁰ X| i stanowi ortogonalną realizację transmitancji A_p ¹. tj. transmitancji filtru modelującego (jeśli A_p = I). Sytuację tę ilustrują rys. 4.5 i 4.6.

w warunkach dopasowania (całkowitego rozproszenia) na wejściu (tj przy Bq = 0). Rozważmy obecnie alternatywny opis tego czwómika za pomocą ma- gr

cierzy rozproszenia Z_p, zgodnie z rys. 4.4. Mamy wówczas

^0	— y	Ap		X.| X|2	Ap
K.	-	[0o.		X2| I22.	.00.

czyli

4o =    I|₂0o

B_p = X₂|A„+I₂₂0o

Z (4.25) mamy

żto = 0u4_p - ©[*,'‘©1200

Podstawiając (4.31) do (4.26), otrzymujemy

(4.28) i

li

• rji

0o = O

(4.29)

(4.30) *

(4.31)

RYS 4 5 J ortogonalna realizacja A_p w warunkach całkowitego rozproszenia

,1-' ,

00=0

Bp - ©21 (©fi¹.4/7-©u' ©I20o) +02200 =

= 02l©n^p-02107,'©1200 + ©2200 =

= ©21 ©i | żtp + (©22 ” ©21 ©i i ©12)00

Stąd wniosek, że

-⁰ri^,0l2 i 'II ©22 - ©21 ©11 ©12 J

_ fx„ x,₂l _ f ©7/

^p" [x₂i X₂₂J " [o₂,©7

RYS 46.

Ortogonalni realizacja A; ¹ W warunkach calkowiicgo rozprmzeni.

(4.32)

(4.33)

Alternatywne rozwiązanie problemu '^,‘'™_a^nl^^ev^l“PśL1u°’^wórnika.^Pzgodnie warunku brzegowego całkowitego o    ‘    :_&j_u ula czwómika @_P

,    , w —1*1,

mamy Aq = 0o = I, zgodnie z (    ■ _innowacyjnego stanowi (©u + %)•

na Iną realizację transmitancji A_P ^ _oraz uwzględniając zgodnie z (4.33).

102