72145 skrypt$

4.

4.1.

96

Filtracja innowacyjna i modelowanie stochastyczne sygnałów drugiego rzędu

W Doórżcdnich rozdziałach pokazaliśmy, ic kluczowe znaczenie w teoni or-W poprzecie cn TO    v ,_ów |_osowych ma zapadu,en,e wyznaczania

togonalnej fiKracji y J ,_ch znaiomośC umożliwia jak wskazaliśmy w roz-'zw współczynnik w .c..    ^    _Zl|ji)cych, opisanych łańcuchową

dzia e 3 ^-ortogonalną real C    P _;    pokazaliśmy również. że -

w zależności od g >.    . P    _iaeh: Liitl,Hi.;,} (estymatorów opły-

malnrchTSTransmitancji). h (odpowiedzi impulsowych), filtr opisany mSzą 0_pLLjc w swojej górnej gałęzi następujące odwzorowań,a

. 0,, v(r)-re_P(0 = ^flP.o>’(^,) + ‘^,n.'.v('-¹)+    + a_r._ry(t-p),

. &_r \ ^ A_p{z) = a_p,t,z° + a_p.\z' +    . . + a_p,_pz',

• 0_p:[\O..O]<->A_r = [°p.oap.i ^ar.A

jak pokażemy w niniejszym rozdziale. powyZsze wyniki można wykorzystać do postawienia i rozwiązania problemu tzw. filtracji innowacyjnej zacjhortogonalnej) oraz problemu ortogonalnego modelowania stochmtyczneg. (cyfrowej syntezy) sygnałów 2-go rzędu

Filtracja innowacyjna sygnałów drugiego rzędu Ciąg błędów prognozy w przód

{e,(r)}JLo= {co(°)ei(¹ )• ^er(P))

(4.1)

FILTRACJA INNOWACYJNA I MOPEtOWANIE STOCHASTYCZNE SYGNAŁÓW

Zatem sygnałem innowacyjnym jest ciąg nieskorelowanych zmiennych losowych {<?„("), n = 0,1.....p}. czyli szum biały. Zauważmy, że w filtrze inno-

wacyjnym z rys. 3.10 są wyznaczane następujące biedy prognozy w przód

*o(0) co(I) co(p) et(l) .. ei(p)

^er(p)

(4.13) ^

a więc elementy leżące na przekątnej we wzorze (4 13) stanowią sekwencję }■ innowacyjną dla sygnału y.

Wykorzystując rozważania z punktu 2.2.4, przypomnijmy, że residualny sygnał ’ i błędu e_p(r) jest szumem białym (dla sygnału y o skończonym czasie skorelowania, wynoszącym p) lub dąży do szumu białego, gdy p -s oo (dla sygnału • asymptotycznie nieskorelowanego). Przyjmijmy, że czas skorelowania sygnału obserwowanego wynosi p. Wówczas, zgodnie z rys 4.1, górna gałąź filtru prognozującego Q_p stanowi ./-ortogonalną realizację funkcji transmitancji A_p(z) filtru innowacyjnego dla sygnału y. co wynika z (3.20) i rys 3.18. Zapiszmy obecnie łańcuchową macierz rozproszenia filtru innowacyjnego w postaci

y;y

nazywa sie.sygnałem innowacyjnym [26. 27, 28] dla obserwowanego sygnału

M')}?=0 = WO).y(l).....y(p))

Przypominając definicję (2.206) błędu prognozy w przód

£„(') = PUpan{y{t - I).....y(/ _ n)}-¹-^)

wraz z unormowaniem (2.207), zauwaZ,my że

e_n(r) 6 rpon{y(r),y(f-l),...,y(r-_n)}

a jednocześnie (patrz rys. 2.10)

e„{r) X span {y(f - 1).....y(r - _n)}

Przyjmijmy f = n Wówczas

c„(n) = P(span{y(n - 1).....y(0)}^x)y(")

i mamy

«/>(") 6 .span{y(n),y(n - 1),...,y(0)} oraz

e„(n) 1 span{y(n — I).....y(0)}

Zamieniając nnan-t,t=l,,..,nw (4 7)-(4.8), otrzymujemy

e„-*(n -k) = P(span{y(n-k- I).....y(0)}^x)y(n - k)

gdzie

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

6 span{y(n k).....y(0)}

C span{y(n - 1),. Stąd wniosek, że	..y{n-k+\),y(n k), ,y(0)}	(4.10)
e„(n) le„_t(n-k) , k= 1..... lub równoważnie	n	(4 11)
(e„(n),e„_r(n - k))v = Ee„[n)e	„.t(n-k)-0 , k= l,...,n	(412)
		97

Filtracja innowacyjna sygnałów ORuoiFnn nzem,

Wtedy, zgodnie z (2.183). mamy iv_t = 1 = | A_p\²W_y

(4.17)

Ponieważ filtr z rys. 4 I realizuje przekształcenie sygnału y o widmowej gęstości mocy W_y w szum biały, tj. sygnał o widmowej gęstości mocy W, = I, filtr ten jest również często nazywany filtrem wybielającym. Zauważmy, że zależność (4.17) obowiązuje dla każdego sygnału y o widmowej gęstości mocy W faktoryzowalnej w sensie (4 18). która to zależność wynika z (4.17).

A_pA_p

(4.18)

Stąd wniosek, że - zgodnie z rozważaniami przeprowadzonymi w punkcie 2.2.4 - statystyki rzędu 2-go (tj widmowa gęstość mocy lub równoważnie kowanan-cja) tego sygnału zostają „zakodowane” w postaci parametrów określających transmitancję filtru innowacyjnego A_p, zgodnie z zależnością (4.18). Zwróćmy uwagę, że na mocy (3.13) globalna łańcuchowa macierz rozproszenia 0_P stanowi iloczyn elementarnych macierzy rozproszenia 6, (2.228)

0|, ©|2

©2i ©22

Wówczas (3.20) przyjmuje postać

0|| ©|2 ©21 ©22

a stąd wniosek, że

A_p[z) = ©| | + ©|2

y(0

■X

ą

(4 14) 1

©/> - P_p Q_p-1 -.. 0|

(4.19)

z których każda jest całkowicie opisana za pomocą współczynnika Schura p,, gdyż zgodnie z (3.7)

4<i(z) Bo. (z)

	©A

/•ortogonalna icalizncjn filtmcji innowacyjnej sygnulu y

¹ e,,(<)= Szum biały

(4 15)

(4.16)

e, = (i-p,²)-4

4	1 Pi	1 0
	Pi 1 .	0 z

(4.20)

Rys 4.1.

Stąd wniosek, że zbiór współczynników Schura

........... (4-21)

określa całkowicie globalną łańcuchową macierz rozproszenia 0_p. i - co za tym idzie - transmitancję A_p filtru innowacyjnego, zgodnie z (4.16). a tym samym statystyki 2-go rzędu (W_y lub c(k)) sygnału y (zgodnie z (4.18)).

Uwaga: Wprawdzie algorytmy przedstawione w punkcie 2.2.6 służą jedynie wyznaczeniu współczynników Schura (4.21), bez jawnego wyznaczania trans-mitancji A_p, jednak ze względu na wzajemnie jednoznaczną odpowiednioić

(4.22)

99

98