skrypt9

Cyfrowa rn trać ia adaptacyjna szeregów czasowych_

6 4 Modelowanie stochastyczne szeregów czasowych

W podrozdziale 6.3 rozważyliśmy problem ortogonalnej parametryzacji adapta cyjnej szeregów czasowych. Jednym z oczywistych i mających istotne znaczenie praktyczne zastosowań metody adaptacyjnej parametryzacji jest transmisja szeregów czasowych z kompresją ilości przesyłanej informacji. Zagadnienie to jest ściśle związane z problemem adaptacyjnego modelowania stochastycznego szeregów czasowych, stanowiącym przedmiot niniejszego podrozdziału

Poprzednio pokazaliśmy, że algorytm ortogonalnej parametryzacji sygnału losowego* opisanego za pomocą zbioru zmiennych losowych, implikuje metodę cyfrowej ortogonalnej syntezy, wykorzystującej parametryzację Selima lego sygnału oraz ortogonalną realizacje filtra odwrotnego względem filtra innowacyj nego.

Przedmiot niniejszego podrozdziału stanowi ortogonalna realizacja cyfrowego filtra modelującego, umożliwiającego po stronie odbiorczej cyfrową syntezę szeregu czasowego. Realizacja ta wynika z algorytmu (6.80)-(6.8l) adaptacy j-nego filtra parametryzującego.

Postępowanie w rozważanym przypadku - w celu wyznaczenia filtra odwrotnego względem filtra innowacyjnego - jest analogiczne, jak szczegółowo onir wionę w podrozdziale 4.2. Sprowadza się ono do wyznaczenia sekcji ortogo-nalnego filtra modelującego na podstawie sekcji ./-ortogonalnego filtra umowa cyjnego. Przyjmując za punkt wyjścia zależność (6.80), mamy zatem

e<! :T    ^en+\j( I ^— Pn+1 ;f ) ^ (ł “^r<r-l)‘ ” fti+I.Z^rn.7 - I

Wykorzystując (6.111) w (6.81). otrzymujemy

ta+ur = (I -P.+nr)^-^¹ -^ea.r)"H/¹"+i.ż{e-₊i:r x

X(t-P»+l:7-)*(^I-^r» r-l)* -Pn+l;T’n.T l) f r„.r-|] = = (1 — Pn+ l;7*) ^_ ^ ( ł -^e»;z)^_*[P-.+ t:r^e»+l;Z X

X (1 ~ Pn+I.y) ' (• — ^rn Z-l) ' ^- Pn+\.T^r»J-t + ^rn;T - l] = = (I -Pn+i.rHO -^e«:r)'*[P*+t;r^e»+i/^x

x(l-P_n+i;r)^}(' -^r.²/-i)^! +(• -P«₊i.r)^r-;7 i] =

= (!-47-)“-[P»+l:ż^e"+l:7'n ^rn;r-t)^ + (l P„²+|

(6.111)

(6.112)

-STOCHASTYCZNE Szepta...

ZaletnoSci (6.111 )-(6.112) możemy zapisać łącznie

[rj-t;,,-.:,,-?!

lub jako

CZASOWYCH

postaci macierzowej jako

('“Pnit.r^ -Pn+t.rl Pn+UT U ~ Pnrpr)

U-tJ-T-l)¹ Ol \[ °1 [^e”⁺'-7-l

fe„.T \ -er„₊uT^,_nT

\>+i.T 1

gdzie

„    4 n

^a"+l:T =

(>-^-j)l Ol [I o

-0    I [o z

0 P²+i.r)i -p_n+i_;r ^p"^+,-^r    (l-p„²+1;J-)l

(6.113)

(6 114)

(6.115)

Jak widać, otrzymana realizacja pojedynczej sekcji ortogonalnego filtru adaptacyjnego. działającego na próbkach sygnału, jest identyczna (z dokładnością do dodatkowych współczynników normalizacji) z wcześniej olrzymaną (w podrozdziale 4.2) realizacją takiego filtra, operującego na zmiennych losowych obserwowanego sygnału. Sekcja la została przedstawiona na rys 6 13 Wykorzystując zależności (6.114)-(6.115), sekcję z rys. 6.13 możemy sęhctnalycz.nic przedstawić na rys. 6 14 Kaskadowa realizacja ortogonalna adaptacyjnego fil trli modelującego przyjmuje zatem postać pokazaną na rys 6.15 Implementacja

U -Pii+i;r)‘ (>

^cn;T --- -«»    ---------

Pn±l;T

^rn;T

—— ^rn+l:7

Pn+l.r)^ (*“^ei;r)

RYS 6 13 Sekcja filirn modelującego

156

Cyfrowa filtracja adaptacyjna szeregów czasowych

*rr.T

' *<i+rr

157

^rn:T

' 'i+I.T

RYS. 6.14 Sekcja <z„₊i_:r fih™

^eO-.T			^el;7
		crt.r		<*2:7
^r0;7			r\:T		^r2;7

Rys. 6.15 Realizacja kaskadowa adaptacyjnego filtru modelującego

cn.t

'N.T

filtra modelującego wymaga przeanalizowania jego inicjalizacji Analogicznie jak w przypadku filtru parametryzującego mamy

^ro_;-l = ri_;_ i = ... = rw.-i = 0

(6.116)

Poszczególne sekcje a_nj- n= 1.....N są inicjowane kolejnymi wartościami

współczynników Schura, zgodnie z (6.110). Przykład ilustrujący działanie filtra modelującego rzędu trzeciego (A/ = 3) dla początkowych chwil czasu T = 0,1,2,3 został przedstawiony na rys. 6.16. Z rysunku tego widać, że dla T = 0 wszystkie sekcje filtru działają przy zerowych warunkach początkowych, skutkiem czego yo = e/yp. Oznacza to. że w chwili tej nie jest aktywna żadna sekcja filtra i próbka sygnału pobudzającego filtr jest przesyłana na w yjście liez jakiegokolwiek przetwarzania. W chwili 7 = I tylko sekcja cru działa przy niezerowyclt warunkach początkowych i jest ona jedyną aktywną sekcją filtru. Zatem w tej chwili, próbka yi sygnału modelowanego powstaje w wyniku prze-fillrowania próbki sygnału pobudzającego e» i w jedynej aktywnej sekcji filtra CTi.|. Podobnie, dla T = 2 aktywne stają się dwie. zaś dla 7=3- Irzy sekcje filtra. Reasumując, dla T = 0,... ,N - I próbki

(6.117)

yo.yt.

.y«-t

sygnału modelowanego powstają w wyniku przetwarzania próbek sygnału pobudzającego odpowiednio

Modelowanie stochastyczne szeregów czasowych

y2

T = 2

	•		•
<7|;2	*1:2	&2.2	*3:2
t. Pl.2	^rl;2 ^rt;l	(. P2:2	-3Lf7i-- • LLJ O

^e3:2

Rys 6 16.

158

159