58325 skrypt4

Cyfrowa filtracja aoaptacyjha szeregów o7asów- <

Cyfrowa filtracja aoaptacyjha szeregów o7asów- <

gość

III** >7- || =<**!**>

(6.29) *

Vr=0,1,2,.

|£/v >r -L S}j*:T

zgodnie z (6.25). Warunek (6.30) możemy przepisać w postaci

^Vl*>reS.A7-{l^£A'^>7‘ -¹-!*>)-]

Biorąc pod uwagę, że

1$ >r= |*V >t f\ ■+■ • • • + \J*y >t fu

w celu spełnienia warunku (6.30) wystarczy więc zażądać ab\

|£/v >t i- |r*y >7 . k =1,...,N lub równoważnie <f*|z*>>r=0 , k = l,...,N

((((III

Cyfrowa filtracja adaptacyjna szeregów czasowych___

6.3.

1		■|ll^>7 ||^2'
o/v.i		0
<*N.N		0

(6.38)

(6.39)

137

gdzie <in,i = —<Xs\i. i — I. . ,/V Mamy więc (dla t = 0,    , T)

**./ = >V — 'pNj = V/ -f rt,V_tl>V-| + • • • +<2,V.A'V/_A'    (6.27)

Estymator (6.20) będzie optymalny w sensie średniokwadratowym. jeśli dłu-

i

(6.28) J

odpowiadającego mu wektora błędu prognozy będzie minimalna (dla każdego _ r =0.1,2,...). Innymi słowy rozwiązaniem problemu prognozy śrcdniokwa- r dratowej szeregów czasowych będą współczynniki {fly.j,• ■ • ,on.n) (czyli od-V powiedź impulsowa filtru prognozującego), spełniające warunek

min || |/* >r

Należy podkreślić, że prezentowane w dalszym ciągu rozwiązanie, spełniające warunki (6.28M6.29). będzie optymalne (średniokwadratowo) dla każdego T = 0.1,2,... (a więc dla każdego naboru próbek {yo,    . yr) obserwowanego

szeregu czasowego). Implikuje to bardzo dobre właściwości estymacyjne tzw. „dokładnych” algorytmów średniokwadratowych (exact leasr sąuares), mających istotną w tvm względzie przewagę nad np algorytmami typu gradiento-wego

Zauważmy, że warunek optymalności estymatora prognozy jest równoważny wymaganiu, aby

(6.30)

(6.31)

(6.32)

(6.33)

Zatem macierz Grama < Ko*|^o* >t spełnia warunek lim — < YQjt\Yo/i >t— C    (6 40)

7-»a0 /

gdzie C jest macierzą kowariancyjną obserwowanego sygnału losowego Stąd wniosek, że zależności (6.37)-(6.38) stanowią układ równaj) normalnych dla problemu prognozy średniokwadratowej szeregu czasowego W dalszej części pokażemy, że rozwiązanie (metodą geometryczną) tego układu równań prowadzi do ortogonalnej realizacji adaptacyjnych filtrów ortogonalnych, charak teryzujących się bardzo szybką zbieżnością estymatorów (z uwagi na wspom niane wcześniej „dokładne" rozwiązania średniokwadratowe dla każdego

T = 0.1,...).

Adaptacyjna parametryzacja ortogonalna szeregów czasowych

Rozważmy podprzestrzeń S|_t„.r i zdefiniujmy

l^n>r=/^>(W)ly>r 6 Sw    (6.41)

Wówczas

l*>r = Wt;r)ly>r= V ~ P(Si«r)ty>T=

= \y>T-\y_n>T -L S\a.T    (6.42)

podczas gdy |e„ >j ę Sq,„j. Wprowadźmy wektor unormowany

\e_n >7= |e„ >_t< e_n\e_n >7*    (6 43)

Analogicznie, rozważmy podprzestrzeń Sq_a-\ j i zdefiniujmy

l>n >r=    >7 € So/i-i-.t    (6.44)

Wówczas

|v_fl>7 = P(Sb_A__lJ)\żⁿy>T=(l-P(So.n-\T)\zⁿy>T=

= |r"y >7-|y_n >7 -L $0/i-l;7    (6.45)

podczas gdy | v„ >7 ę So_AI- Wprowadźtny wektor unormowany

ko >r= l^v« >t< v„|v„    (fiAb)

Wykorzystując (6.26). warunki (6 34) motemy przepisać w postaci

< s,vk‘y>r = < v|i*y>_r +a_N] < r'y|A>T+...+

+ <iw.N</'yk*y>r=0    ....

(6.35)

*"**».nr -

II l«w >r II¹ r <8.|EN>r=

N

~ ^{< c}*l-^v    >7=

•-i

= < Syv|y>7=

= < y\y >T +«*■ < r’y|y >r +... + a„,_N < z"y|y _{>r (6}.₃₆₎

Zależności (6.35) i (6.36) możemy zapisać łącznie i

postaci macierzowej

<    y\y >T <z^ly\y>r <    >’h'v>7 <z^,y|z^,y>7 .	• < ^^vy|y >r < A|r'y>7		I ^N.l		II kw >7 ||^J0
. < y\z"y >t < 2‘yl^y >7 .	• < z^Ny\z^Ny>T		oa/.,v		0

(6.37)

lub równoważnie jako

< ^0*1    >7

Zauważmy, że

' yo 0

l>0.<V >7=

L>y y7-i • • yr-jv

ni

, ADAPTACYJNA PARAMETRYZACJA ORTOGONALNA SZEREGÓW CZASOWYCH

Twierdzenie 6.1

Spełnione są następujące zależności rekurencyjne:

k+1 >t= [ k >r +|rr, >t pn+\.T 1(1 -p„²+    (6.47)

k+1 >t= [ |«» >t p,+\.T + \ir, >r J(1 -pH+i.r) ^    (6.48)

gdzie

Pn+\.r = - < e_n\zr_n >7    (649)

przy czym |a,+ |;H < I.

Dowód. Mamy

l^cn+i >t = /^>(^-_ł.i_;r)|y>r= (/-/^>(-5i_fi.₊i;r))|y>t=

= |y >7 -P(^₊i;7)|y>r

Ponieważ z. jednej strony |r„ >_Te So.nj. a z drugiej |r_n >7 ±So.n-l-.r. zatem \zr_n >_Te 5|_f/l+i;7 oraz |zr_n >7 ±S\,„j Stąd wniosek, że

S\.n+\;T = S\,„j(Bspan{\zr_n >7}

a w kotisekwencji

P($i./»+i.r) = P(S\,_nJ) \-P(\zr_n >7)

gdzie P(\zr_n >_T) oznacza operator projekcji ortogonalnej na span{\zr„ >7}. Zatem

|S.+, >r=|«n>r -|rr_rt>7<zr_n|y>r

Ponieważ |y„ >7 C S\_%nj podczas gdy |zr_n >7 1 to

< zr_n\y >7 = <yfzr_n >7 =

= < yjzr_n >_T - < 9n\zr_n >7=

= < e„\zr_n >7 =

= - < e_n\e_n >}■ Pn+i,r gdzie zdefiniowaliśmy Pn bi.r = - < e_n\zr_n >_T

139

138