82046 skrypt@

CvrnowA filtracją apupiacyjna szeregów czasowych

CvrnowA filtracją apupiacyjna szeregów czasowych

(6.118)

n= 1	n = 2	n = 3	II c
P 1:0	Pz.o	PJ:0 •	■ ■ P.V. 0
Pl.l	P2-.I	Pl;l •	■■ P/V;l
Pi .2	P2:2	P3.2 •	■ • PtJ.2
Pt.)	P2.S	PU •	■ • PN: 3

(6.119)

Zmienia to sposób patrzenia na problem transmisji sygnału O ile poprzednio zysk. wynikający z transmisji kilku lub kilkunastu (jako Ze zazwyczaj wystarczająco dokładną parametryzację sygnału zapewnia filtr rzędu N — %    \ 2) Ma

łych współczynników Schura (zamiast sygnału oryginalnego) wydawał sie być oczywistym, o tyle obecnie można mieć wątpliwość co do zysku z przesyłania kilkunastu funkcji czasu (tj. zmiennych w czasie współczynników Schura)

{P,T , T = 0,1,2. .} . n=l,. ,N    ₍₆.,₂₀₎

w miejsce przesiania jednego spróhkowanego sygnału obserwowanego Wątpliwości te zostają rozwiane po przebadaniu właściwości zależnych od czasu współczynników Schura, które okazują się być wolnozmiennymi funkcjami czasu. Oznacza to. że pasmo częstotliwości zmiennego w czasie współczynnika Schura jest wielokrotnie węższe od pasma sygnału paramelryzowanego Z tego faktu w oczywisty sposób wynika kompresja ilości przesyłanej w kanale informacji (w stosunku do sygnału oryginalnego)

Uwaga: Ilustracje stanowią tutaj wyniki symulacji, zamieszczone w Przykładzie 7.7 w rozdziale 7.

Przy realizacji praktycznej systemu cyfrowej transmisji sygnałów omawianą metodą uzyskujemy dodatkowe możliwości zmniejszenia zajętości kanału przy transmisji zależnych od czasu współczynników Schura. Zauważmy w tym celu. że algorytm adaptacyjnej parametryzacji, przedstawiony w paragrafie 6 3, wyznacza (w sposób rekurencyjny) wartości współczynników Scliura w kolejnych chwilach T = 0,1,2,    „ co odpowiada ich uaktualnianiu „co próbkę" (tj..

w chwilach czasu równych odstępowi próbkowania sygnału obserwowanego) 7. doświadczeń praktycznych (7. 4] wynika, że wskutek wcześniej omówionego wolnozmiennego przebiegu współczynników Scliura, uaktualnianie ich „co próbkę” (all-time update) jest nadmiarowe Okazuje się bowiem, że zapewnienie wymaganej dokładności odtworzenia sygnału przez filtr modelujący me wymaga tak dużej liczby próbek tych współczynników. Realizując omawiany

161

^eW;0|C/V;|i    - I

przez 7" = 0,1, .N - I sekcji filtru. Począwszy od chwili T - N aktywne są już. wszystkie jego sekcje i proces modelowania sygnału przebiega poprawnie

6.5. •Transmisja szeregów czasowych metodą LPC

Cyfrowa transmisja szeregów czasowych metoda liniowego kodowania prognozującego. wynikająca z algorytmów adaptacyjnej parametryzacji i modelowania stochastycznego, omówionych w poprzednich paragrafach niniejszego rozdziału. stanowi realizację praktyczną idei transmisji sygnałów losowych, zaprezentowanej w paragrafie 4.0 Na rysunku 4.20 zilustrowano metodę trans misji sygnałów losowych z wykorzystaniem liniowego kodowania prognozującego. W metodzie tej sygnał obserwowany jest parametryzowany po stronie nadawczej przy wykorzystaniu filtru innowacyjnego Do odbiornika przesyłane są współczynniki Scliura obserwowanego sygnału, który jest odtwarzany za pomocą filtru modelującego (z dokładnością do statystyk drugiego rzędu) < hna-wiana metoda umożliwia więc transmisję sygnałów z kompresją ilości przesy lanej informacji, jako że zamiast sygnału oryginalnego są przesyłane w kanale jedynie jego współczynniki Scliura.

W cytowanym paragrafie transmisja sygnałów losowych metodą liniowego kodowania prognozującego wynikała z wyprowadzonych uprzednio algorytmów filtrów: parametryzującego i modelującego, operujących na wartościach t będących zmiennymi losowymi) slacjonamych sygnałów drugiego rzędu W tym przypadku parametrami wyznaczanymi przez filtr innowacyjny (i transmitowanymi do filtru modelującego) były niezależne od czasu współczynniki Scliura. wyznaczane jako uśrednienia (w sensie operatora E) zmiennych losowych opisujących sygnały błędów prognozy w przód i w tył O ile przedstawione tam podejście umożliwiało prezentację idei omawianej metody transmisji sygnałów.

0    tyle dalekie było od możliwości praktycznej realizacji takich systemów

Przedstawione w niniejszym rozdziale algorytmy filtru parametry żującego i ino dclującego. działające bezpośrednio na próbkach sygnałów umożliwiają zatem realizację praktyczną systemów cyfrowej transmisji szeregów czasow i cli metodą liniowego kodowania prognozującego. Istotną różnicą pomiędzs podejściem rozpatrywanym w rozdziale 4. a metodą adaptacyjnej parametryzacji

1    modelowania, stanowiącą przedmiot niniejszego rozdziału, jest to, i/ współczynniki Schura. uprzednio stałe, lulaj stają się funkcjami czasu

160

Cyfrowa filtracja adaptacyjna szeregów czasowych_

system transmisji, można zatem wykorzystać jedną / poniższy ii. sprawdź.i nych praktycznie metod (sprowadzających się do przesyłania me tyle knlcjii;.; h wartości współczynników Schura, ile jedynie schodkowych futikc 11 aproksymu-jących te współczynniki):

• Prostsza metoda polega na odpowiednim wyborze wielokrotności A kT odstępu próbkowania (np. dla sygnału mowy - A = 20    50 ms) i przesyłania

wartości współczynników Schura jedynie w tych punktach osi czasu

[ Pnjits 1 k — 0,1,2,...}

1-----7V

(6 121)

Odpowiada to aproksymacji współczynników Schura za pomocą funkcji schodkowych o argumentach rozłożonych równomiernie (tj co A) na osi czasu. Innymi słowy, uaktualnianie w czasie parametrów filtru modelującego następuje co A sekund Oznacza to. że w kanale do „odbiornika" przesyła się jedynie N = 8... 12 wartości co A sekund Jest oczywiste, że zmniejsza to zajętośó kanału w istotnym stopniu (w stosunku do przesyłania wartości współczynników Schura co próbkę).

» Bardziej elastyczna metoda polega na aktualizacji wartości współczynników Scliura w adaptacyjnie dobieranych przedziałach czasu (adaptiyeły-control-led time-intervals) [7, 4], Przy tytn podejściu, po stronie nadawczej imple mentuje się algorytm analizujący zmiany przebiegu współczynników Selima Przyjmuje się, że jeśli współczynnik Schura spełnia warunek

Ti

IPn-.T - Z P»;H < e dla T₀ < T < 7)    (6.J22)

r=r₀

gdzie £ jest małą stałą dodatnią, to na przedziale AT = 7) - To mamy p_n j = const, a więc nie jest wymagane uaktualnianie jego wartości. Jeśli warunek (6.122) nie jest spełniony, wówczas przesyłana jest aktualizowana wartość tego współczynnika. Należy dodać, że wystarczające jest badanie przebiegu tylko jednego wybranego współczynnika Schura, ponieważ zmiany wszystkich współczynników Scliura następują synchronicznie w identycznych chwilach czasu. W metodzie lej zatein przesyłanie wartości współczynników Scliura, a tym samym uaktualnianie parametrów filtru modelującego następuje jedynie w chwilach istotnych zmian wartości współczynników Schura. a więc w przedziałach o zmiennej i zależnej od ich przebiegu długości, zamiast wyboru, jak poprzednio, stałych przedziałów uaktualniania tych parametrów, Daje to z jednej strony lepszą aproksymację funkcjami schodkowymi przebiegu współczynników Schura w filtrze modelującym (a tym samym lep szą jakość odtwarzania sygnału po stronie odbiorczej), z drugiej mniejszą ilość informacji przesyłanych w kanale.

_Estymacja mczha SKonEiowAttYCH szeregów czasowych

Uwaga: Druga z opisanych wyżej metod aktualizacji współczynników Schura może być wykorzystana jako test stacjonarności obserwowanego sygnału losowego. Biorąc pod uwagę, że dla sygnału stacjonarnego wszystkie współczynniki Schura są stałe, przedziały czasu, w których wartości zmiennych w czasie współczynników Schura można według opisanego wyżej kryterium uznać za quasi-ruezmienne, odpowiadają przedziałom stacjonarności tego sygnału.

6.6. Estymacja łączna skorelowanych szeregów czasowych

Prezentowane w poprzednich paragrafach niniejszego rozdziału podejście geometryczne do rozwiązania problemów adaptacyjnej prognozy, filtracji innowacyjnej (parametryzacji) i modelowania stochastycznego szeregów czasowych w unitarnej przestrzeni ')( umożliwia również jednolite rozwiązanie zagadnienia adaptacyjnej estymacji łącznej statystycznie związanych ze sobą dwóch szeregów czasowych W zagadnieniu tym dane są obserwacje dwóch skorelowanych szeregów czasowycli

{.r„y,,r = 0,...,7-}    ⁽⁶¹²³⁾

i zadaniem naszym jest wyznaczenie optymalnego (średniokwadratowo) estymatora szeregu czasowego { *, r = 0.....T ) na podstawie obserwacji szeregu

{ y_t , _ o, .,7' } W interpretacji geometrycznej, rozwiązanie postawionego problemu sprowadza się zatem do wyznaczenia reprezentacji wektora

,    „/    (6-124)

I-C >T— [ro - ^xt] 6 ^y{

w podprzestrzeni

So.N,T = span{\z°y>_T,\i'y>T.....lA>r} C M

(patrz rys. 6.17). Zgodnie z rys. 6.17. projekcja ortogonalna wektora |* >r na podprzestrzeń obserwacji So.n.r'■ U-

|!„    >t = W- >r< W-    >' ' %₎₂₆₎

= [-e₀.-ir]'

normę błędu

14t>T =    ^LS^^J    (6.127)

= lx >r -l-^?w >r= [^£/y.o■ ■ ^eY_;rJ

162

163