img054 (8)

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera

problem:

wyznaczyć współczynniki a_l szeregu aproksymującego sygnał x(t), zakładając, że funkcje bazowe u,(r), względem których dokonano rozwinięcia, tworzą układ funkcji ortogonalnych w przedziale < t_{,t₂ >

rozwiązanie:

niech

obie strony powyższego równania pomnożymy przez dowolny, &-ty element układu funkcji bazowych u_k(t) i obliczymy obustronnie całki w przedziale określoności sygnału

■ l    i uj    uj    • J.

\x(t)u_k{t)dł = |Xąw,(fK(^ = Yj^a> \^u>(^t)^uk(^t)^dt

ze względu na ortogonalność funkcji w,(/) i u_k(t) wszystkie składniki sumy, oprócz przypadku dla i = k wyzerują się

17

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera

zatem

stąd

ze względu na dowolność wyboru indeksu k powyższe wyrażenie możemy zapisać