Radosław Grzymkowski 'MATEMATYKA Zadania I Odpowiedzi' Strona3 Funkcje & Ciągi

73

6. Funkcje i ciągi

c)    arctg(l + x) + arctg(l - x) =

d)    arctg(l + VSn) + arctg(l - Vx² + l) = p

e) 3x — ctg (arctg — — arctg-rY = O,

V. x    x + l/

f)    arctg* - arctg(l - x) = 2arctg t/x(l - x),

g)    arcsini - arccosx = arcsin(3x - 2).

6.15. Udowodnić, że dla funkcji hiperbolicznych prawdziwe są wzory:

a)    ch²x-sh²x = l,    _e) thx-thy = ^T-,

.₂₉    ch x sh y

b)    ch x + sh x = ch 2x,    _CN , , . _x ,    .    ,    ,

f) sh (£+2/)= shxch2/+ cha; sny,

c)    sh2x = 2shxchx,    g) sh 2x + ch 2x = (sh x + chx)².

d)    shx+shy=2sh^ ch^,

6.16. Rozłożyć na ułamki proste następujące funkcje wymierne: 3x — 5

a)    Q(x) =

b)    Q(x) =S

c)    Q(x) =

d)    Q(x) =

e)    Q(x) =

f)    Q(x)

X^2	— 4ar + 3
a;	-2
a;^3	+ 1’
X^2	+ 2
a:^3
X'	^2 + x +1

i ni \ 2x^a + x + 1 g) <?(x) = —j-

h)    Q(x)

i)    Q(x) -

X^J — X

c³ + 3x² — 4’ x³ - 2x² + 3x - 1 x — 1

x³ + 2x² + x + 1 x³ + x

i² + x — 2 ’

_    X⁴ + 2x³ - 1

x³ + 2x² + 2x + 1 ’

\    3X³ + 1

j) Q(x) = ₇    .—-

k)    Q(x) =

l)    Q(x) =

(x²+x+l)2’

2x + 3

X⁴ - x³ + 3x² ’

6

x⁴ + 5x² + 4"

6.17. Wykazać, że:

0)l² + 2² + ...

^Jl³ + 2³ + ...

₉    n(n+l)(2n + l)

+** =-—■—i