zdjecie6

12 | WIELOMIANY

Przykłady wielomianów

Obok zapisano kilka prostych wyrażeń algebraicz- przykłady jednomianów: nych I jedną zmienną.

4x¹⁶    -3 m*

Wyrażenie postaci ax", gdzie a e R, neN, nazywamy jednomianem zmiennej x. Gdy a 4 0, liczbę    = y -3V2f¹⁰¹

naturalną n nazywamy stopniem jednomianu.    ~^;

(jyti — jśdnomumi    Uwaga. Jednomianami nazywamy także wyrażenia, w któ-

rych występuje więcej zmiennych, np. 3x²y, ab³, |m^sn⁶.

współczynnik    _Nie iyedzieiny się nimi jednak w tym rozdziale ząjmować.

jednomianu

Zauważ, że liczby rzeczywiste różne od zera, np. 3, -0,7 i -J2, to jednomiany stopnia zerowego, gdyż można je przedstawić w postaci odpowiednio: 3x°, -0,7x° i \/2x°.

Przykłady wielomianów: 4x^s + I lx^:* + 7 3f⁷ - 13f^s + f⁴ - 9 -8a³ - |a⁵ 0,04u®

2V6x⁶ + 3x⁵ - x² - 3x + 1

f + 2 6

Jednomiany oraz ich sumy nazywamy wielomianami.

Wielomianem stopnia n zmiennej x nazywamy wyrażenie postaci:

a„xⁿ |a_B-ixⁿ 1 +... | ngjg + aix + ao,

gdzie współczynniki a„, a„~!.....az, N ao są licz

bami rzeczywistymi i n e N oraz a„ 4 0.

Współczynnik a o nazywamy wyrazem wolnym.

Zmienna wielomianu może oczywiście być oznaczona dowolną literą.

Wielomianami nazywać będziemy także wyrażenia ty pu x- + 2x³, (2x - 1>-, gdyż każde z nich można przekształcić do postaci a„x" + a„_ix^{n l} +... + ao.

Ćwiczenie 9 Określ stopień każdego z wielomianów podanych powyżej.

Jednomian 0 jest także wielomianem, nazywamy go wielomianem zerowym.

Wielomian zerowy można zapisać na różne sposoby, na przykład: 0-x², 0-x, 0 • x°. Jak widać, zmienna w takim wielomianie może występować w dowolnej potędze, dlatego stopień jednomianu 0 nie jest określony.

Wielomian, który jest sumą dwóch niezerowych jed-nomianów różnych stopni, nazywamy dwumianem, a sumę trzech jednomianów (różnych stopni) nazywamy trójmianem.

Przykłady dwumianów: 2x -1 x^J + 2

3x^s - V2x    Trójmian, który jest wielomianem drugiego stopnia.

-x⁷ + x¹⁷    nazywamy trójmianem kwadratowym.

Przykłady trójmianów: 3x² -2x + 3 |x^B + x⁴ + 1 x'°-2x⁷ +x®

V7x^s - X - X⁶

Ćwiczenie B. a) Wypisz współczynniki przy najwyższej potędze każdego z dwumianów i trójmianów zapisanych obok.

b)    Podąj przykład trójmfanu kwadratowego o współczynnikach całkowitych.

c)    Czy wyrażenie (2x - 3P jest trójmianem kwadratowym?

Wielomiany można dodawać, odejmować i mnożyć. Wykonując tego typu działania, otrzymujemy nowy wielomian, który warto uporządkować, czyli przedstawić w postaci jak nąjprostszej sumy algebraicznej. Należy w tym celu zredukować wyrazy podobne, a występujące w nim jednomiany zapisać w kolejności od stopnia nąjwyższego do nąjniższego.

przykłady

-> dodawanie wielomianów

(7 - 5x⁵ - 3x²) + (3x² - 4x - x^s) = 7 - 5x^s - 3x² + 3x² - 4x - x⁵ - -6x⁵ - 4x + 7 -» odejmowanie wielomianów

(-8x⁴ - 2x⁶ + 3) - (3 - 5x + 2x⁶) = -8x⁴ - 2x* + 3 - 3 + 5x - 2x⁶ = -4x⁶ - 8x* + 5x -» mnożenie wielomianów

(3-2x⁵+x)(-Sx²-x) = -15x²-3x+10x⁷+2x⁶-5x³-x² = 10x⁷+2x*-5x^J-16x²-3x

Ćwiczenie C. Doprowadź wielomiany lY(xj i P(x) do najprostszej postaci. Porównaj stopnic i współczynniki obu tych wielomianów.

tt'(x) = 4x- - (2x - 3)²    PM = 6x(5x^J + 2) - 3(10x³ + 3)

Dwa wielomiany tej samej zmiennej są równe, gdy są tego samego stopnia i po zapisaniu każdego z nich w postaci a„x" + tt„-ix"^-1 +... + ao współczynniki przy odpowiednich potęgach są równe.