68216 img445 (2)

4

TWIERDZENIE 12.

Wielomiany, funkcje wymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygi nometryczne są ciągłe w swych dziedzinach.

Nauczymy się wykazywać, że rozpatrywane funkcje są ciągłe w podanyi li zbiorach, a później określać zbiory, w których dane funkcje są ciągłe.

PRZYKtAD 22.

Wykażmy, że funkcja

m =

x + 3 x~=T

x² - 3

-2x + 5

dla x g (-oo, O),

dla x e (O, 2), dla x g (2, +oo)

jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.

Widzimy, że funkcja ta jest na pewno ciągła w przedziałach: (-oo, O) (ponieważ jest funkcją wymierną o mianowniku różnym od zera w tym przedziale), (O, 2) (jako wielomian stopnia drugiego) oraz (2, +oo) (jako wielomian stopnia pierwszego) . Powstaje problem, czy funkcja ta jest ciągła w punktach x₀ = O ora/ x₀ = 2 (w których następuje zmiana wzoru funkcji). Obliczamy

x + 3

lim /(x) = lim -- = -3,

x—yO~

x->0- x - 1

lim. /(x) = lim (x² - 3) = -3,

x->0+^J    x-»0+^V    '

/(O) - O² - 3 = -3,

skąd wynika, że funkcja jest ciągła w punkcie x₀ = O. Wobec tego, że

lim f(^x) ~ li^m (x² - 3) = 1,

x—>2-^J ' '    x-»2-^V    '

_x!!S+/(x) =JSg₊(-2x+5) = 1,

/ (2) = 2² — 3 = 1,

lt*ku|rmy, że funkcja ta jest ciągła również w punkcie x₀ = 2.

Wl?< funkcja / jest ciągła w przedziale (-oo, +oo)

Wini stwierdzenia udowodnionej przez nas własności naszkicuj wykres funkcji /.

m n

pwrlżmy, w jakim zbiorze ciągła jest funkcja

x² + 2x -3 x —1 x + 4 6

8 -x

»

dlax e (-oo, 1),

dlax e (1,2), dla x = 2, dla x e (2, +oo).

limy, że nasza funkcja jest ciągłą w przedziałach: (-oo, 1) (jako funkcja wypina o mianowniku różnym od zera w tym przedziale), (1, 2) oraz (2, +co) i wielomian stopnia pierwszego). Badamy ciągłość funkcji / w punkcie x₀ = 1:

lim /(x) = lim

x->1”    x->r

x² + 2x - 3 x-1

^: lim

x->r

^{(x 1)}    = lim (x + 3) = 4,

X -1    x-»1~ ^V '

#

lim ,/(x) = lim (x + 4) = 5,    /(1) = 1 + 4 = 5.

x-»1^{+/ v} '    x->1 +

fikcja nie jest więc ciągła w punkcie x₀ = 1 (choć jest tam prawostronnie gin), Dalej mamy

lim f(x) = lim (x + 4) = 6,

jim ₊ /(x) =Jim₊(8 -x) = 6,    /(2) = 6,

lltrm funkcja jest ciągła w punkcie x₀ = 2.

Olliacza to, że funkcja jest ciągła w zbiorze

(-oo, 1) u (1,2) u {2} kj (2, +oo) = (—oo, 1) u (1, +oo).

©mówimy teraz jeszcze dwie szczególnie ważne własności funkcji ciągłych W przedziałach liczbowych.

Rn/pocznijmy od przykładu funkcji /, której wykres przedstawia następujący fy*unek: