38738 zdjecie
0

20 WIELOMIANY

fen R'vliv wielomian n' n n.i i z> uniki. § następnie uzasadnij. że dlu każdo) ttczb> ratkowilo n wartość tego wielomianu jest lic/bą pod zielną prze/ 3. Yfcskazówka. Jedna i tmvh kolejnych Kob c-alkówm< h jest podzielna przez 3. bł W\L.u. że dla dowolne i hczbj całkowitej n wartość wielomianu n⁴ -2n* + rv jest liczbą podriełną przez 4.

cl I zasadno, że dla dowolnej luvb\ całkowitej n wartość wielomianu n^s rt ,K'^S* liczbą pod zielną przez 6.

8- łVwien cukiernik układa pączki w piramidy, tak jak pokazano na zdjęciu obok. Liczba pączków w piramidzie o n warstwach wynosi:

{n’« 'rr + in

a) Rozłóż ten wielomian na czynniki. Oblicz, z ilu pączków zbudowana jest piramida o 12 warstwach.

(U bl tzasadruj. że liczba pączków w piramidzie, która ma n + 1 warstw, jest o in + 1>* większa od liczb\ pączków w piramidzie o n w arstwach.

Równania wielomianowe

Ćwiczenie A. Rozwiąż równanie:

a)    -15\ -1>« o

b)    3(4x - Ti- -2<14—6x)

Ćwiczenie B. Rnzwiąz równanie:

a) 2^ - Sx - 3 bł    j*² - O

Liczba rozwiązań równania iix- + bx +c - O. gdzie B * O, zależy od wartości wyróżnika    4ac.

jeśli A > O. to równanie ma dwa rozwiązania:

12

i -b - vA

*, Im

m I ♦ yA

la

Jeśli A - O. to równanie ma jedno rozwiązanie: *® 2a

JeśB A < O. to równanie nie ma rozwiązań.

w powyższych ćwiczeniach podano przykłady równań, które można przekształcić tak. aby po jednej stronie występowa! wielomian, a po drugiej — liczba O.

_

Równanie postaci ■ 0, gdzie M'(x) jest wielomianem stopnia n, nazywamy równaniem wielomianowym stopnia n.

Liczbę, która jest rozwiązaniem równania wielomianowego H'(x) * 0, nazywamy pierwiastkiem wielomianu lt(x).

Uwaga. liczby spełniające takie równanie nazywane są takie pierwiastkami równaniu,

Potrafisz już znąjdować pierwiastki wielomianu pierwszego stopnia i wielomianu drugiego stopnia. Pokażemy teraz, jak znajdować pierwiastki niektórych wielomianów wyższych stopni.

Ćwiczenie C. Podąj liczby, które spelniąlą równanie:

a) (x + l)(.v - O O    b) (x - 2)⁴ ■ 0    cl 3x(x-lK2x-4)-0

Dosyć łatwo można rozwiązać równanie wielomianowe Ił (x» = 0. gdy wielomian lł (.v) przedstawiony jest w postaci iloczynowej.

a-b = 0

a = 0 lub b = 0

Wystarczy skorzystać z faktu, że iloczyn jcsl równy zero wtedy, gdy który kolwiek z czynników jest równy zero. Wobec tego przy rozwiązywaniu równań wielomianowych stopnia wyższego niż 2 przydaje się umiejętność rozkładania wielomianu na czynniki.

przykład

-» x⁵ - 6x* = 40x^J

X^5	-6x«-40x^3		-0
x^3(x^2 -		6x 140)	-0
X^3	= 0	lub x^2	O 1 * 1	= 0
X	= 0	A -	^1 (-6)^2 - 4	• 1
			- 14
		y _6-14 _ ^X| 2		-4
		6+14 *2 - 2		10
■0	lub	x«-4	lub x =	10

| przekształcamy równanie do postaci lV(x) ■ 0 | wielomian IV(x) rozkładamy na czynniki 196