Image31 (18)

60

Jest to równanie loksodromy. Obliczymy jej długość.

ds

y/ (dx)² + (dy)² -I- (dz)

Korzystając z wzorów definiujących układ sferyczny, znajdujemy

dx =

dx    dx , dx

dR 4- -₌— d(p + — dS

dR

dcp

##

dy =

dy    dy    dy

dR 4- — dcp 4- — dd

dR

dcp

##

= — R sin# sincp dcp -y R cos# coscp dd, = R sin# cos cp dcp 4- R cos# sin<p d&,

dz =

dz    dz    dz

dR 4- — dcp 4- — d&

dR

dcp

##

— R sin# dd.

Po wstawieniu tych wyrażeń do wzoru na ds otrzymujemy

ds

R d# /1 4- sin²#

dcp

d$

Z poprzednich rozważań mamy

dcp

dS

tga

sin#'

a więc

ds

R

dS

cosa

n

Po scałkowaniu w granicach od 0 do -

7iR

2 cosa

Czas przebiegu

t

nR

2v cosa

2. DYNAMIKA

2.1. Siła hamująca jest liniową funkcji prędkości tzn. F = av + b. Szukaną wartość początkową siły hamującej F_p otrzymujemy, podstawiając do tego wzoru

v = v

Wtedy

^Fp = ^avo + b,

z warunków zadania.

gdzie nieznane są współczynniki a i b. Znajdujemy je

Wartość siły w momencie zatrzymania (v

0)

Ponieważ prędkość v ciała i siła hamująca mają ten sam k przeciwne zwroty, to równanie ruchu dla hamowania ma postać

m

dv

dt

= -«(» + !>„)■

Z kolei uwzględniając, że dt = —, powyższe równanie możemy doprowadzić do postaci

mv

dv

ds

= -a (v +

czyli

mv dv

a (v + v.)

= ds

Całkując to równanie w granicach od v_Q (początek hamowania) do 0 (zatrzymanie ciała), otrzymujemy

™ v_Q a