86965 Image31

60

Jest to równanie loksodromy. Obliczymy jej długość.

ds

V (d^x)² + (dy)² 4- (dz)

Korzystając z wzorów definiujących układ sferyczny, znajdujemy

dx =

dx    dx , dx

dR 4- ~— d(p 4- — d&

dR

dcp

dd

dy =

dy    dy    dy

dR 4- — dcp 4- — dd

dR

dcp

##

= —R sin# sincp dcp 4- R cos# coscp d&, = R sin# cos cp dcp 4- R cos# sunp d#_f

dz =

dz    dz    dz _tn

dR 4" ~— dcp 4~ tt dQ

dR

dcp

a#

— R sin# d#.

Po wstawieniu tych wyrażeń do wzoru na ds otrzymujemy

ds

R d# /1 + sin²#

W

dD '

Z poprzednich rozważań mamy

dcp

tg ot sin# ’

a więc

ds

R

</#.

cosa

71

Po scałkowaniu w granicach od 0 do -

nR

2 cosa

Czas przebiegu

^tp v

nR

2v cosa

2. DYNAMIKA

2.1. Siła hamująca jest liniową funkcji prędkości tzn. F = av + b. Szukaną wartość początkową siły hamującej F_p otrzymujemy, podstawiając do tego wzoru

v = v.

Wtedy

F_p = av₀ + b,

gdzie nieznane są współczynniki a i b. Znajdujemy je z warunków zadania Wartość siły w momencie zatrzymania (v = 0)

Ponieważ prędkość v ciała i siła hamująca mają ten sam kierunek, lecz przeciwne zwroty, to równanie ruchu dla hamowania ma postać

m

dv

Jt

= -a (v + v\

ds

Z kolei uwzględniając, że dt = —, powyższe równanie możemy doprowadzić do postaci    ^v

mv

dv

ds

= -a (v + vj,

czyli

mv dv

a (v + v.)

= ds

Całkując to równanie w granicach od v_Q (początek hamowania) do 0 (zatrzymanie ciała), otrzymujemy

m v

a

(1 - ln2) = s ,