Image38

74

2.10

a. Dodatkowa masa wody, zwiększająca masę kropli, nie ma prędkości (spoczywa w układzie inercjalnym), wobec tego równanie ruchu przybiera postać

d

dt

Przyjmując prostą pionową, skierowaną w dół, jako oś ruchu i korzystając z tego, że w pewnej chwili czasu masa kropli

można równanie ruchu napisać w postaci

d

Jt

gdzie promień kropli r jest nieznaną funkcją czasu. Wiadomo jednak, że przyrost masy

dm = a4jipr² dt.

Z drugiej strony

dm — 4npr² dr. Z porównania tych dwu relacji wynika, że

dr = adt,

co pozwala zapisać równanie ruchu w postaci

a d(r²v) = gr³dr,

umożliwiającej całkowanie. Uwzględniając warunki początkowe znajdujemy stąd:

ar² r„³ /gr„ v_c\    r₀v„    grf

^Z 8a² r² \8a² 2ctj la 4a²‘

Podstawiając

r = r₀ -f oLt

otrzymujemy szukane zależności:

V = v(t),    z = z(t).

b. Jeśli r_a — 0, to

Ponieważ r = cct, to:

W przypadku gdy v₀ = 0, otrzymujemy: