img069 (9)

11

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

• zatem błąd średniokwadratowy

X    »    l²

= J 40-Z ^4) ^dt

'=0 J

osiągnie minimum, jeżeli c, = a,

zakładając, że c_j =a_i + b_i, błąd średniokwadratowy aproksymacji wynosi

‘2

-J

40-Ź[fe+*/kWi]^dt

i» 0    J

uwzględniając ortogonalność układu funkcji w,(f), po wykonaniu

nieskomplikowanych przekształceń algebraicznych, błąd średniokwadratowy wyrazimy następująco

e = J*²(0^-IXHI²⁺Ż^lk

/,    /=0    i=0

12

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

z powyższego wynika, że błąd aproksymacji osiąga minimum, gdy b_t = 0, tzn. c_t = a_i, wówczas błąd średniokwadratowy aproksymacji będzie równy

^£    }x²(rVł-Z4||^r

4    '=°

• tak więc błąd aproksymacji sygnału x(t) szeregiem

n

40=Z^c.-".(0

(=0

osiąga minimum, gdy współczynniki rozwinięcia wyznaczono według wzoru

1 ^

a, =

T \Ąt)u_t{t)dt