img069 (8)

11

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

• zatem błąd średniokwadratowy

„    « I²

= J    ^dt

'=0 J

osiągnie minimum, jeżeli c_i = a_t

zakładając, że c, = a_t + b,, błąd średniokwadratowy aproksymacji wynosi

‘2

J

<«0    J

uwzględniając ortogonalność układu funkcji w,(r), po wykonaniu

nieskomplikowanych przekształceń algebraicznych, błąd średniokwadratowy wyrazimy następująco

s = \x\t)dt - £ a^\\u,f + Y b?\\u_t

i    i=0    i=0

12

METODY ANALITYCZNEGO PRZEDSTAWIANIA SYGNAŁÓW Uogólniony szereg Fouriera (cd)

z powyższego wynika, że błąd aproksymacji osiąga minimum, gdy b_t = 0, tzn. c, = a_t, wówczas błąd średniokwadratowy aproksymacji będzie równy

£=£₁nin= \At)dt-Y^a'H

«l    '=°

• tak więc błąd aproksymacji sygnału x{t) szeregiem

n

x(t)=Y^c‘^u'(^t)

1=0

osiąga minimum, gdy współczynniki rozwinięcia wyznaczono według wzoru

1 ^

^a, = ijir Ut)u,(t)dt