img075 (23)

80

gdzie p(G)= max W jest liczbą określaną jako promień spektralny macierzy G.    ■

A.eSpect G'

Dane jest równanie (4.2) (układ n równań liniowych z n niewiadomymi z nieosobliwą macierzą .4 współczynników będących liczbami rzeczywistymi). Przedstawione zostaną dwie metody iteracyjne wyznaczania przybliżonego rozwiązania równania (4.2), w których wykorzystuje się algorytm iteracji prostej. Są to metoda Jacobiego i metoda Gaussa-Seidla. Różnią się one sposobem przekształcenia równania (4.2) do postaci (4.3) odpowiadającej zastosowaniu algorytmu iteracji prostej. Różny jest też zakres zastosowania tych dwóch przykładowych algorytmów, co wynika z ograniczeń nałożonych na zbiór macierzy współczynników dopuszczanych przez warunki na zbieżność odpowiedniego ciągu iterowanego (4.4).

4.1. Metoda Jacobiego [7, 8,19]

W tej metodzie macierz współczynników A danego wyjściowego równania (4.2) przedstawiana jest w postaci

A={a~D)+D ,    (4.31)

gdzie D jest częścią diagonalną macierzy A,

	^aw	0	0 "
D =	0	^a22	0	(4.32)
	0	0 •	^ann_

Równanie (4.2) jest przekształcane do postaci (4.3) w następujący sposób:

(.A-D + D)x = b    (4.33)

i następnie

D x = -(A- d)-x + b    (4.34)

Zakłada się, że macierz D jest nieosobliwą. Dla spełnienia tego założenia można dokonać zamiany miejscami równań danego wyjściowego układu równań, jak też dokonać przestawienia kolumn macierzy A wraz z przenumerowaniem współrzędnych wektora niewiadomych. Równanie (4.3), równoważne równaniu wyjściowemu (4.2), przyjmuje w metodzie Jacobiego postać

x= D ^x (A — D) x + D~¹ b    (4.35)

Macierz współczynników G w równaniu (4.3) jest tu macierzą

G = -D^l {A-D),    (4.36)

natomiast wektorem wyrazów wolnych c jest wektor

c = D^l b    (4.37)

W pełnym zapisie macierz G ma postać