img371 (3)

c) wielkość sprzedaży wytwarzanych wyrobów wynikająca z popytu i ich ceny na rynku.

Rola firmy w systemie ekonomicznym polega na transformacji kupowanych czynników produkcji na towary i usługi. Końcowym etapem jest sprzedaż wytworzonych towarów i usług konsumentom na rynku. Przyjmując, że głównym celem firmy jest maksymalizacja zysku, należy go wyznaczyć, określając koszty produkcji oraz uzyskiwane przychody.

Jeżeli w procesie produkcji zaangażowane jest n czynników produkcji, to łączne koszty produkcji wyniosą:

C(x) = £ Pi*i + ^Ks ^P^Tx + K_s, ;=i

gdzie:

x =

- wektor czynników produkcji,

P i

P =    :

wektor cen czynników produkcji,

Pr J

K_s - koszty stałe.

Wielkość produkcji firmy (>j jest funkcją zaangażowanych czynników produkcji, co wyraża relacja:

y = /(*)

Przychód firmy ze sprzedaży wyprodukowanych wyrobów wynosi

R(y) = c^Ty,

gdzie:

y =

c =

y i .y»_

<h

L 0»J

wektor ilości wyprodukowanych wyrobów,

wektor cen produkowanych wyrobów,

natomiast zysk firmy jest różnicą pomiędzy przychodem a kosztami produkcji:

Z{x,y) = R{y)-C{x).

Z przedstawionych relacji wynikają główne problemy ekonomiczne dla firmy produkcyjnej:

-    maksymalizacja zysku przy danych (określonych) kosztach produkcji,

f

-    minimalizacja kosztów wytworzenia dla danej wielkości produkcji,

-    granica opłacalności prowadzenia działalności produkcyjnej.

Rozwiązanie problemu maksymalizacji zysku wiąże się z maksymalizacją

funkcji Z(x). W wyniku tego działania otrzymamy wielkość produkcji, dla której zysk jest największy, lub krzywą podaży dla producenta, określającą wielkość produkcji jako funkcję ceny wytworzonych wyrobów. Minimalizacja kosztów produkcji jest alternatywą dla maksymalizacji zysku. Minimalizujemy funkcję C(x) i uzyskujemy minimalny koszt w relacji do wielkości produkcji.

Warto zauważyć, że firma powinna prowadzić działalność produkcyjną, generalnie rzecz biorąc, tylko wtedy, kiedy uzyskuje nieujemny zysk. Moment, w którym działania firmy zaczynają przynosić straty, powinien być sygnałem do zaniechania produkcji lub jej urentownienia.

Zarysowane tutaj problemy decyzyjne będą przedmiotem dalszych rozważań.

Problem alokacji zasobów można sprowadzić do wyznaczenia minimalnej wartości funkcji C(x) z uwzględnieniem warunków technicznych danych funkcją produkcji y = f{x). Zauważmy że minimalizujemy koszty produkcji korespondujące ze stałą (zadaną) wielkością produkcji, przy czym wszystkie czynniki produkcji są nieujemne. Tak ogólnie sformułowane zadanie można zapisać jako program nieliniowy i rozwiązać np. za pomocą metody nieoznaczonych mnożników Lagrange’a.

Przykład 37. Wyznaczyć optymalne nakłady czynników produkcji x_Ł i x₂ dla wytworzenia zadanej wielkości produkcji y₀ = 120, przy możliwie najniższych kosztach. Proces produkcyjny opisuje funkcja:

y=f(x) = 2x°₁-⁵x°₂-⁵,

a koszty produkcji - funkcja C(x) = 4x₂ + x₂ +10.

Problem ten może być rozwiązany za pomocą znanej już metody mnożników Lagrange’a, a zatem funkcja celu przekształcona w funkcję Lagrange’a, tzw. lagrangian L ma postać:

L = 4xj +x₂+ 10 + ż(120 —2xi^,sX2’⁵) -*• min,

gdzie X jest nieoznaczonym mnożnikiem Lagrange’a.

Zastępujemy tym samym poszukiwanie ekstremum bezwarunkowego funkcji C(x) szukaniem ekstremum warunkowego funkcji Lagrange’a. Aby je znaleźć, należy obliczyć pochodne cząstkowe funkcji L względem zmiennych i x₂ oraz X i przyrównać je do zera. Otrzymujemy układ równań:

dL

8x₁

dL

dx₂

4-Xx;°’⁵x°₂’⁵ =0,

1-ŹX?’⁵X2⁰’⁵ =0,

199