img422 (4)

14

Augustin Cauchy [wym. ogustę koszi] (1789-1857), wybitny matematyk francuski, byt twórcą precyzyjnego wykładu analizy matematycznej. Pierwszy sformułował w sposób ścisły pojęcie granicy funkcji, zdefiniował szereg liczbowy, określił kryteria jego zbieżności. Miał wszechstronne zainteresowania: zajmował się różnymi dziedzinami matematyki oraz fizyką, mechaniką i astronomią.

Jest to definicja Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie.

Uwaga:

Można udowodnić, że definicje (granicy funkcji w punkcie) Heinego i Cau-chy’ego są równoważne, tzn. z warunku występującego w definicji Heinego wynika warunek występujący w definicji Cauchy’ego i odwrotnie.

TWIERDZENIE 1.

Jeżeli o > 0, to granica lim a^x istnieje i lim a^x = 1.

Dowód.

Wzór jest prawdziwy w sposób oczywisty dla a - 1.

Załóżmy teraz, że a > 1. Z klasy drugiej wiemy, że (dla a > O)

lim Vo = 1, czyli lim a" = 1.

n-> co    n~> oo

Oznacza to, że dla dowolnej liczby e > O istnieje liczba ó > O taka, że dla n > d zachodzi nierówność

|a" - 1

< e.

Nitsch N będzie jedną z liczb naturalnych (N > ó), spełniających ostatnią nierówność. Mamy więc

j Cf^ — 1 j < £,

•kąd wynika, że

o^w - 1 < e,

czyli

(1) a^N < 1 + e.

Wykorzystując ostatnią nierówność, otrzymujemy:

Ponieważ 1 - £² < 1, więc (1 - e) (1 + e) < 1, czyli > 1- e. Zatem

(2)    a ^ > 1 - e.

Zauważmy teraz, że ponieważ ^, więc

(3)    o^A<a*

(fldyż dla a > 1 funkcja wykładnicza jest rosnąca). Z nierówności (1), (2) I (3) otrzymujemy:

(4)    1 - £ < a ^N < a^N < 1 + £ .

Przyjmijmy teraz ói = ^. Weźmy jako sąsiedztwo punktu x₀ = O zbiór S(O, ó|).

Jeżeli x e S(0, ó,), to O < |x - 0| < skąd |x| < ó_1t czyli -~< x <

Zatem    ^{N N}

(5)    a k < a* < a^N.

Z nierówności (4) i (5) otrzymujemy 1-e<a^N<o^J(<a^N<1 +£,

•kąd

1 - e < a* < 1 + £, czyli

| o* 11 < e.