IMG19 (19)

42 3. WSTĘPNE PRZETWARZANIE CYFROWE

przy czym przy parzystej liczbie próbek w oknie: — dla okna sinusoidalnego

(41

— dla okna cosinusoidalnego

(42)

Realizacja algorytmu (40) wiąże się z koniecznością wykonania (p+1) mnożeń, co jest cyfrowo czasochłonne. Korzystając jednak z właściwości funkcji sinus i cosinus, można liczbę mnożeń zmniejszyć co najmniej dwukrotnie. Można bowiem tak pogrupować wyrazy w algorytmie (40), aby wykorzystać powtarzające się wartości współczynników a_k.

Dla okna sinusoidalnego zawsze można zapisać

(P-D/2

y*(n) — X L^X(n-p/2 + l/2+k)~^x(n-p/2-1/2-kJ ^sinCD₀Ti    (43)

Ir = n

fc = o

Natomiast dla okna cosinusoidalnego

(p-n/2

yc(n) — X t^X(n — P/2 +1/2 +fc) + ^x(n-p/2 - 1/2 — ft)3 COS C0_o    (44)

lt = 0

Jeśli okno pomiarowe jest dłuższe niż jeden półokres o częstotliwości (o₀ możliwe są dalsze uproszczenia obliczeń. W rezultacie takie grupowanie wyrazów sprawia, że liczba niezbędnych mnożeń będzie równa liczbie próbek, przypadających na ćwiartkę okresu częstotliwości kątowej co₀, czyli

przy czym T₀ — okres sinusoidy — cosinusoidy tworzącej okno,

T₀ = 2 n/(o₀.

Przy nieznacznej liczbie próbek w oknie takie oszczędności obliczeniowe mogą się okazać całkowicie wystarczające.

Jeśli jednak liczba próbek (p +1) jest duża, a szczególnie wówczas, gdy należy zrealizować filtr zarówno o oknie sinusoidalnym, jak i cosinuso-idalnym, korzystne staje się zapisanie algorytmu (40) w postaci rekursywnej. Aby to uzyskać, należy najpierw przejść na zespoloną postać funkcji sinusoidalnych, zapisując ten algorytm w postaci

(45)

Teraz filtry o oknach sinusoidalnych i cosinusoidalnych mogą być przedstawione jako części urojone i rzeczywiste g_in)

y»(n) ⁼ Itn Cćf(ii)] j yc{n)

Istnieje wiele metod uzyskiwania postaci rekursywnej algorytmu (45). Jedną z nich przedstawiono poniżej. Jest ona wygodna wówczas, gdy długość okna pomiarowego T_w jest całkowitą wielokrotnością półokresów (TJ2) plus jedna próbka, a więc

T_w = (kTJ2)+T_i = (p+l)T_i

Pisząc wówczas obok równania (45) zależność pozwalającą wyliczyć można zauważyć, że

_r    ~ jfo>oT( — jto„r.i    j§o>oTi

9{n) Lś/(n — 1)    ^(n —p—1)®    J6    ^(n) ®    (46)

Forma ta jest wygodna, bowiem

. P _M T

}l^m«T i

e

może przybierać wartości ± 1 albo ± j.

Tak więc, wyliczenie części rzeczywistej i części urojonej g_(n) przy znajomości tych składowych dla gr₍„_ _t) wymaga czterech mnożeń liczb rzeczywistych.

Przykład

Często w układach zabezpieczeń długość okna T_w powinna być zbliżona do połowy okresu częstotliwości co„. Niech więc T_w = (p-t-l)T; = T./2+T. Wówczas