IMG15 (17)

34 3. WSTĘPNE PRZETWARZANIE CYFROWE

SYNTEZA FILTRÓW O SKOŃCZONEJ ODPOWIEDZI IMPULSOWEJ (SOI*    3$

Wiadomo jednak, że transformata Fouriera splotu jest iloczynem transformat, a więc    oznaczać symbolem w_r(t)

(28) ^wr(^T) = ^W(^T + T„/2)

W_r(jco) =

sin(ft) T_w/2) (toTJ2)

gdzie: Y(jct)), X(jco) — transformaty Fouriera, czyli widma sygnałów y(-r); x(t), W(jco) — transformata Fouriera okna w(t) podzielona przez okres impulsowania 7j.

Można z tego wyciągnąć następujące dwa wnioski:

1.    Okno filtru w(t) jest odpowiedzią impulsową (funkcją wagi) tego filtru pomnożoną przez okres impulsowania T_t.

2. \Transformata Fouriera okna w(t) jest widmem filtru po. mnożonym przez 7).

Wnioski te są bardzo przydatne w praktyce, bowiem zamiast określać widmo z pracochłonnej zależności (27), znacznie prościej można to uczynić znajdując transformatę Fouriera okna pomiarowego w(t). Należy jednak wspomnieć, że ten ostatni sposób kryje pewną nieścisłość, nie uwzględnia bowiem dyskretnego charakteru określania całki splotu. Powoduje to, że pomija wstęgi boczne widma, będące kopiami uzyskanego rezultatu, poprzesuwanymi o całkowite wielo* krotności a>, = 2łt/7J. Przy dostatecznie krótkim okresie impulsowania 7], czyli dostatecznie dużej częstotliwości impulsowania, wpływ tych wstęg bocznych jest pomijalny (p. dodatek B).

Okna pomiarowe w(t) są najczęściej funkcjami symetrycznymi lub antysymetrycznymi (parzystymi lub nieparzystymi) względem swego środka. Dlatego przy znajdowaniu transformaty Fouriera najwygodniej przesunąć je tak, aby ich środek wypadł w początku układu współrzędnych, rys. 15. Taką przesuniętą funkcję będzie się

Rys. 15. Przesunięcie okna pomiarowego

czyli

VF(jct>) = W_r(jfo)e^_j“^Tw/2    (29)

Synteza filtrów o skończonej odpowiedzi impulsowej sprowadza się do wyznaczenia współczynników a_k realizujących zadany kształt charakterystyki modułowej — czyli widma. Istnieje wiele dość złożonych metod syntezy, przedstawionych w licznych książkach [1], [21]. Poniżej przedstawiono „syntezę poglądową”, polegającą na przeanalizowaniu cech charakterystycznych filtrów o prostszych — a jednocześnie najczęściej stosowanych — oknach pomiarowych.

3.3.2. Filtry dolnoprzepustowe o skończonej odpowiedzi impulsowej    >

Najczęściej stosowany filtr dolnoprzepustowy ma prostokątne okno pomiarowe, czyli wszystkie współczynniki wagowe a_k mają tę samą wartość wynoszącą 1 (rys. 16). Transformata Fouriera tego okna, będąca widmem filtru, ma postać (patrz Dodatek B)

(30)

Rys. 16. Przykład prostokątnego okna pomiarowego