MATEMATYKA008

8 I Wiadomo&ci wstępne

j) |sinx|^O_t ł) |sinx-l|śl.

k) |x'-5cosx|>~2,    1)|x|<x²-2,

m) |l — logx|> 0, n) |31og(4-x^:)-ctgx

>-l

Odpowiedzi:

1. a) fałszywe, b) prawdziwe, c) fałszywe, d) prawdziwe, e) prawdziwe. 0 fałszywo 3. a) fałszywe, b) prawdziwe, c) prawdziwe, d) prawdziwo, e) fałszywe, 0 fałszywe 5,o) UA_n-<-2,2>.r|A_n-<-I.I>. bJUA.rf-w.+ooJ.DA.-łO}.

on    li

7 a)xc(-l,4), b) X€(-oo,-I>u<5,+»).c) xe<-l,3>,d) X60, e)xeR.

0 x«kx,k€C, g) x€(1,3). h) xeR, i) x€0, j) x«kx,kcC, k) xeK,

1) xe(-so,-2)u(2,+<io), ł) xe<2kic,(2k r|)x>,keC, m) xc(0,l0)v^(10,+oo), ti) xe(-2,0)u(0,2).

2. LICZBY ZESPOLONE.

Określenie zbioru liczb zespolonych, weźmy

pod uwagę produkt kartezjański zbioru liczb rzeczywistych przez siebie, Izn. zbiór wszystkich uporządkowanych par (x,y) liczb rzeczywistych:

RxR = {(x,y): xgR a yeR}.

Z warunku uporządkowania wynika, źc równość par (x,,y,) i (x,,y_;) zachodzi jedynie wtedy, gdy ich poprzedniki są równe i następniki są równe, czy li

(2.1)    (x,,y,) = (Xj,y_J) o (x, =Xj a y,-y,).

W zbiorze RxR definiujemy dodawanie i mnożenie dowolnych elementów (x,,y,) i (x₂,y₂) tego zbioru za pomocą równości:

def

(2.2)    (x,,y,) + (Xj,y₂)    =    (x,+x,, y,+y₂),

def

(2.3)    (x,,y,)(x_!,y_J) =    (x,x_: — y,y₂, x,yj+y_lx_i)

Zbiór RxR z działaniami określonymi powyższymi równościami nazywamy zbiorem liczb zespolonych i oznaczamy literą C. a elementy z = (x,y) zbioru € nazywamy liczbami zespolonymi.

Liczby zespolone będziemy również oznaczać krócej pojedynczymi literami np.: z, w.

Z definicji (2.2) i (2.3) dodawania i mnożenia liczb zespolonych oraz z własności działań na liczbach rzeczywistych wynika natychmiast, że dla dowolnych liczb zespolonych z,,7.3,2, zachodzą równości

z, + z₃ = z₂ +Z,

Z|Z₃=Z₂Z,

(z,+z,) + z, = z, + (z, + z,) (z,z₂)z, = z,(z₂z,)

(z, +Z₂)z, = z,z, + z,z₃

przemienność dodawania pnemienność mnożenia

łączność Jodowania łączność mnożenia rozdzielność mnożenia wzylędem dodawana

ODEJMOWANIE I DZIELENIE LICZB ZESPOLONYCH

Odejmowanie i dzielenie liczb zespolonych definiujemy jako działania odwrotne do dodawania 1 mnożenia.

Łatwo wykazać, że dla dowolnej pary liczb zespolonych z, i z.₂ istnieje dokładnie jedna liczba w taka, że z, = w + z₂. Liczbę w nazy wamy różnicą liczb z, i z₂ i oznaczamy symbolem z, - z₂. Zatem

def

(z,-z₂=w) o (z, -w + z₂).

Analogicznie: dla dowolnej pary liczb zespolonych z, i z₂ , gdy z₂ *(0,0), istnieje dokładnie jedna liczba w taka, że z, = w z₂ . Liczbę w nazy wamy ilorazem liczb z, i z, i oznaczamy symbolem

z,:z₂ lub -- Zatem, przy założeniu, że z₂ *(0,0) mamy ^Z2

Z    def

(-■La. W) O (Z, = WZj).

^Z2

Jeżeli z, =(x,,y₁). z₂-(x₂,y₂), to z przyjętych wyżej definicji otrzymujemy:

z,-z_J=(Xi-x„y_l-y_J),