MATEMATYKA007

6 1 Wiadomości wstępne

c) |5-x|ś l-2xo(-l + 2x ś5-x £ l-2x)<t>

<=>(xś2 a xś-4), zatem dana nierówność jest prawdziwa dla x e (-oo,-4 >.    ■

Otoczenie i sąsiedztwo punktu, załóżmy, że x_y

jest dowolnie ustaloną liczbą rzeczywistą oraz e - dowolną liczbą dodatnią Przedział (x₀ - e,x₀ + c) nazywamy otoczeniem punktu x₀ o promieniu e i oznaczamy symbolem U(x₀,e). Zatem

U(x₀,e) = (x_re,x₀+6) = {x€R: x₀-e<x<x₀ + e} =

= {xeR: |x-x₀|<b}.

Przedział}' (x₀ -e,x₀) oraz (x₀,x₀ + e) nazywamy odpowiednio sąsiedztwem lewostronnym oraz sąsiedztwem prawostronnym punktu x₀ i oznaczamy symbolami S'(x₀,e) oraz S'(x₀,e). Sumę tych przedziałów nazywamy sąsiedztwem punktu x₀ o promieniu e i oznaczamy symbolem S(x₀,e). Zatem

S(x₀,e) = S"(x₀,e) uS⁺(x₀,e) = U(x₀,e) - {x₀} =

= {xgR: O<jx — x₀|<e).

W pewnych rozważaniach wygodnie jest, z uwagi na symetrię zapisu, dysponować pojęciem sąsiedztwa i otoczenia również w przypadku punktu niewłaściwego -foo lub —oo . Przyjmijmy następującą umowę:

S(+oo) = U(+oc) = (a.-fce), S(-oo) s U(-oo) = (-co, a), gdzie a jest dowolną liczbą rzeczyw istą.

W przypadku gdy promień otoczenia lub sąsiedztwa rozważanego punktu x₀ nic jest istotny, będziemy używać również krótszego oznaczenia: U(x₀) lub S(x₀).

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA.

1. Określić, które z podanych niżej zdań jest prawdziwe, a które fałszywe:

a) (sin 3n = 1)a(costc = -1), b)(3£ l)v(~5> 1),

c) (tgrc = I) v (cos2x = 2),    d)(sin² tc + cos² n = 1) a (log 1 = 0),

c) (logi = 1)=>(0> 2), o <5>2)=>(3>7).

2.    Podać przykłady prawdziwej i fałszywej

a) alternatywy, b) koniunkcji, c) implikacji

3.    Określić, które z podanych niżej zdań jest prawdziwe, a które fałszywe:

a) A x^J>0, b) V logx = -1_t c) A logx£0,

mR    xaR    x>l

d) V x^: + x⁴£0, c) A sinx>0, 0 AV x + y-2.

xcK    x>0    x«N ycN

4.    Podać interpretację geometryczną zbiorów A u B oraz AnB, gdy:

a) A =< -1,2), B =< 2,3),    b)A=<-2,1>, B = {0,3),

c) A={xeR: x²-4<0}, B={xeR:x>0)

d)    A = )xeR; 3x-x²>0), B=(x€R: x²+x<0},

e)    A = {(x,y)eR²: y>x²-x}, B = {(x,y)eR^:: x-y>0},

f)    A = Rx,y)€R^z: x²-x<0}, B = {(x,y)€R²: x-y>0},

g)    A = {(x,y)eR²: y²-2y<0}, B={(M')eR^:: x²+y²^9},

h)    A = {(x,y)eR²: x²+y⁵-2xS0}, B = {(x,y)cR²: x²-y-»<°>-

5.    Wyznaczyć sumę i iloczyn zbiorów:

a) A=c-l—,l+->, neN,

n n

b)    A, = {x eR: -t <x<t}-(-t,t), teR .

6.    Podać interpretację geometryczną produktu A x B, gdy

a)    A = (x e R: - I s x s 2), B={yeR: OSySl},

b)    A-R, B = {yeR: -Ky<l}, c) A = (1,2,3). B= {1.2}

7. Rozwiązać nierówności:

/    I ⁹    ' I    I--^r    '

d) 2 + |l 5x|< 0,    e)|x²+x+3 20, 0

g)|2x-3|<x,    h)|2 + x|*x-4, i)

a)|3-2x|<5,    b)|x-2|^3,    c) |x² - 2x -1| S 2,

^J' * • I* ^C'^A - *    ¹ V xisn ⁿcosx|fcl,

x²-x|<x-4,