MATEMATYKA006

4 I Wiadomo.ici wstępne

Produktem (iloczynem) kartezjańskim A xB zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych par (x,y) takich, że poprzednik x jest

elementem zbioru A. a następnik y należy do zbioru B. Zatem der

AxB = {(x,y): xgA a y€B|.

Analogicznie definiujemy produkt kartezjański dowolnej skończonej liczby zbiorów;

def

A|X...xA_n a {(x,,-*\X_n): Xj cAj, i =    n).

PRZYKŁAD 1.2

a)    Produkt kartezjański zbiorów A = {0,1} i B = {1,2,3} jest zbiorem złożonym z sześciu elementów:

A i B = {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2), (1,3)}.

b)    Dla dowolnego zbioru A mamy

Ax0 = {(x,y); xgA a ye0}=0.

c)    Produkt kartegański RxR jest zbiorem wszystkich uporząd kowanych par liczb rzeczywistych (można też powiedzieć: zbiorem dwuwyrazowych ciągów liczb rzeczy wistych):

R x R = R² = {(x,y): x eR a y€R}.

d)    Produkt kartezjański Rx---xR oznacza zbiór wszystkich n-

---'-V

o

wyrazowych ciągów liczb rzeczywistych:

Rx»'xRg R^{n a} {(X],»’»,x_n): Xj eR, i = 1,--*,n}.    ■

n

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH I JEGO PODZBIO-

RY. W zbiorze liczb rzeczywistych R wyróżniamy następujące podzbiory:

-    zbiór liczb naturalnych:    N = {1,2,3,...},

-    zbiór liczb całkowitych nicujemnych:    N₀ = {0,1,2,...},

-zbiór liczb całkowitych:    C = {0,1,-1,2,-2,...),

o

- zbiór liczb wymiernych:    W = {—: ceC a neN),

n

Rozwinięcie dziesiętne dowolnej liczby wymiernej jest skończone lub nieskończone okresowe. Liczby rzeczywiste, których rozwinięcie jest nieskończone i nicokrcsowc - to liczby niewymierne Liczbami niewymiernymi są np.: ■Jl. fi, VlO. Liczbą niewymierną jest liczba n * 3,14 , która jest równa stosunkowi długości dowolnego okręgu do długości średnicy tego okręgu. Liczbą niewymierną jest liczba e * 2,72,

która jest granicą ciągu ((1 + —)ⁿ), o czym będziemy szerzej mówić w

n

rozdziale II. Funkcja wykładnicza e^x oznaczana też symbolem expx oraz funkcja logarytmiczna z podstawą e, oznaczana ln x, występują dosyć często w naukach technicznych.

MODUŁ (WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA) LICZBY. Moduł

liczby rzeczywistej x oznaczamy symbolem |x| i określamy wzorem i, | gdy x£0,

\-x, gdy x<0.

Geometrycznie |x| oznacza odległość punktu x na osi liczbowej od punktu 0. Nietrudno sprawdzić, że dla dowolnego a € R następujące nierówności są równoważne:

|x|<a o (-a£xśa),

|x| > a o (x£-a v x£a).

PRZYKŁAD 1.3 Rozwiążemy nierówności:

a)|3 + x|<l,    b)|2x-l|d, c) |5-x|śl-2x.

a)    Ponieważ

|3 + x|d o -l<3 + xd o -4<x<-2, więc nierówność a) jest praw'dziw^ra dla x e(-4,-2).

b)    Ponieważ

|2x-l| > 1 o(2x-l £ 1 v2x - 1 £ -1) co (x £ 1 v x£0), więc dana nierówność jest prawdziwa dla x € (-oo,0 > u < 1,+oo).

A