18780

_Matematyka - studia dziewie_

_Matematyka - studia dziewie_

Iloczyn kartezjański, relacja

Niech A, B a. 9ł

AxB = ((.v, y):xe A a yeB) tzn.

Ar

(x,y)eAxB ca (ae A a yeB)

4)    Wyznaczyć (narysować) następujące zbiory: {1,2|x{0, 2.4).    iVx9v, j5}X')i_t,

(-00,2 >x<-2,3), <0.5 >^J,95, x9?_ł

Niech A, B c 5R

Relacją nazywamy dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego, <pc. AxB ę>: A -> (D(a)c B. xe A

Powiemy: a jest w relacji (p z y wtw. gdy (.t, y) e <p ca x<py

Własności relacji

Niech X*0

(1)    <pa XxX jest zwrotna ca V.veX x <p x

(2)    fcXxX jest symetryczna ca V A.ye X (a ę y => y <p x)

(3) (p t- X xX jest antysymetryczna ca V v, ve X [(a (p y a y<px) => v - y]

(4) <p<zXxX jest ptzechodnia ca V x,y,ze X {(xę y a y <p z) => a ę :|

(5)    ę>c XxX jest zupełna (spójna) ca V r.ye X (j:<py v y <p x)

Relacja <p c X x X jest:

•    relacją równoważności ca spełnia warunki (1) a (2) a (4)

•    porządkiem (częściowym) <0 spełnia warunki (I) a (3) a (4)

•    porządkiem zupełnym (całkowitym) ca jest porządkiem częściowym i spełnia warunek (5)

•    praporządkiem ca spełnia warunki (1) a (4) a (5)

5)    Sprawdzić, które z własności (1) - (5) ma relacja

a)    ę>(=9t\ x <p y ca (a-y)(.v + y) > 0

b)    ę>c9?^:. x<py ca (A-y)(A+y) = 0

c)    <p <= 95% * <p y ca |a - >j < 1

d) <pc. N², x <p y ca (x dzieli y) ca (3 keN y = kx)

e) <p<z N², x <p y ca (x + y) jest liczbą parzystą ca (3ke N x+y = 2k)

f)    <p<z 95², x <p y ca jc-y >0

g)    pc9?\{0)x9ł\{0), x<py ca A-y>0

h)    ę>c9?^;x9t^:. (a,,a,) ę»(y,,y₂) ca 2a, + a, = 2y, + y₂

i)    ę>c9ł;x9?;, (a,,a₂) ę>(y,,y₂) ca A,A₂<y,y₂

Która relacja jest równoważnością, która porządkiem, a która praporządkiem?

6)    Sprawdzić, czy relacja pcZxZ (Z - zbiór liczb całkowitych) a <f> y ca 3 ke Z 2x + y = 3 k jest relacją równoważności.

7)    Jakie własności relacji porządku całkowitego spełnia relacja <p <= ZxZ,

x<py ca 3keZ 4y-A = 3kl

8)    Jakim porządkiem jest relacja c 9? x 95, x <p y ca |a| < | v| ?