984501246

I. STRUKTURY LICZBOWE

Ważnym pojęciem w matematyce jest iloczyn kartezjański. Aby go zdefiniować trzeba dysponować pojęciem pary uporządkowanej (a, b). Nie wnikając w dokładną jej definicję poprzestaniemy na zasadniczej własności par uporządkowanych. Otóż (a, b) = (c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a = c oraz b = d. Jeśli A i B są zbiorami, to ich iloczynem kartezjańskim jest zbiór

A x B = {(a, b): a G A oraz b G B}.

Jeśli mamy dwa zbiory X i Y, i każdemu elementowi x G X przyporządkowany jest dokładnie jeden f(x) G Y, to takie przyporządkowanie / nazywamy funkcją. Stosujemy oznaczenie f:X—*Y. Zbiór X, na którym określona jest funkcja / nazywamy dziedziną funkcji /, który oznaczamy też Df, a zbiór Y przeciwdziedziną funkcji /. Zbiór

f(X) = {f(x):x€X}

zbiorem wartości funkcji f.

Jeśli /: X —> Y oraz g: Y —> Z, to możemy rozważać złożenie funkcji / i g czyli funkcję, którą oznaczamy symbolem 50/, a definiujemy jako:

gof(x) = g{f(x)).

Zbiór

W_f = {(*,/(*)) G A x Y: x G D_f} nazywamy wykresem funkcji f.

Funkcję / nazywamy różnowartościową, jeśli dla dowolnych xi,x₂ £ Df zachodzi Ii ^ X₂ => /(xi) ^ /(ij).

Jeśli funkcja f:X—*Y jest różnowartościową oraz zbiór wartości funkcji f(X) jest równy Y, to możemy mówić o funkcji odwrotnej /^_1: Y —* X zdefiniowanej wzorem

f^(y) = jeśli f(x) = y.

2. Liczby naturalne. Indukcja Matematyczna

Liczb naturalnych, podobnie jak pojęcia zbioru, nie będziemy definiować. Zbiór liczb naturalnych będziemy oznaczać symbolem N, tzn.

N= {1,2,3,...}.

Trzy kropki następujące po trzecim przecinku oznaczają, że dalej następują kolejne elementy, czyli kolejne liczby naturalne. W zbiorze liczb naturalnych N nie ma liczby największej, a więc zbiór ten jest nieskończony. Jest natomiast liczba najmniejsza. Przyjmuje się jako pewnik (czyli aksjomat) następujące stwierdzenie:

(Zasada Minimum). Jeśli zbiór A C N ma przynajmniej jeden element, to wśród elementów zbioru A jest liczba najmniejsza.