matma 12 20107

/czna w przestrzeni

tych

• punkt P' tej płasz-

snę

/amy punkt P' tej

a płaszczyznę lub

Wzajemne położenia punktów prostych i płaszczyzn

133

O Ćwiczenie 5.7.2

a)    Znaleźć rzut prostokątny punktu P = (3, -2,1) na płaszczyznę ~ : 2x~y+3z = 0;

X    z

b)    Znaleźć rzut prostokątny punktu P = (2, —1.4) na prostą l : — = — = —;

1    1    3

c)    Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora v = (—1,3,0) punktu P = (1,2, —2) na płaszczyznę tt: x + y — 4z — 6 = 0;

d)    Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora v = (4, —1, —3) punktu P = (1,3,1) na płaszczyznę 7r : 2x - y + 3z + 7 = 0;

e)    Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora v = (2, —3,1) punktu P = (3,1,0) na prostą l : (x, y, z) = (-3 — s, 5 — s, 2 -f 2s), gdzie s£E;

f)    Znaleźć rzut ukośny w kierunku wektora v = (—1, —1,1) punktu P — (—2, 2,1)

na prostą l :

x — 1 y — 1 z

ffi Fakt 5.7.3 (odległość punktu od płaszczyzny)

Odległość punktu Po = (xo, yo, -^o) od płaszczyzny n : Ax + By -f Cz + D = 0 wyraża się wzorem:

\Axo + By_{0 +} Czo ₊ D\ ^v ; v^/I²Tp²Tc²

Uwaga. Odległość punktu P od płaszczyzny 7r jest równa długości odcinka PP', gdzie P' jest rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę n (rys. 5.7.1). Podobnie, odległość punktu P od prostej l jest równa długości odcinka PP', gdzie P' oznacza rzut prostokątny punktu P na prostą l (rys. 5.7.2).

o Ćwiczenie 5.7.4

a)    Obliczyć odległość punktu P = (5, —1,6) od płaszczyzny zr : 3x — 4y + 12z — 12 = 0;

b)    Obliczyć odległość punktu P = (3,6, —1) od płaszczyzny n : x = 1 + s + 2t, y = 2s — t, z = t, gdzie s, t, G R..

■ Fakt 5.7.5 (odległość płaszczyzn równoległych)

Odległość między płaszczyznami równoległymi 7rj i tt₂ o równaniach

7Ti : Ax + By -f Cz + D\ = 0, tx₂ : Ax + By + Cz + Do = 0

(rys. 5.7.5) wyraża się wzorem:

\D\ — D₂\

ltv

:Uł.

I

|

W-

I

tI • i’

d(TTl,TT₂) =

\M² + B² + C²'

it ukośny punktu >rostą.

'lilii!

P