Obraz2 (68)

twierdzeń wszystkimi możliwymi środkami. Wybór tych środków jest tu drugorzędny ... Rachunki, które się w związku z tym wykonuje, mogą być obrzydliwe. Przypominam sobie, jak około roku 1950, w momencie gruntowania teorii homologii z Mac Łanem, Eilenberg zwierzył mi się, że obaj przeprowadzając się przenosili walizę wypchaną rachunkami. Inaczej mówiąc . ci dwaj wielcy matematycy zaczynali od rachowania! Nie ma w tym nic szokującego. Jedną ze słabości natury ludzkiej jest to, że ukryte źródła i głębokie idee danej teorii nie od razu się ujawniają. Jak mawiał Hadamard: „Proste idee pojawiają się dopiero na końcu”. Oczekując na nie, rachuje się, aby jakoś rozwikłać sytuację. Dzisiaj we wszystkich nowych teoriach ... badacze ciągle rachują. Jestem przekonany, że tam, jak i w całej matematyce, jest to etap przejściowy. Nasi synowie i wnukowie będą się z pobłażaniem śmiać z naszych olbrzymich rachunków, mówiąc: „Ci biedni ludzie niczego nie rozumieli. Nie uświadamiali sobie podstawy tego wszystkiego. My mamy tę świadomość, prowadzimy więc dowody pojęciowe, a jeżeli chodzi o rachunki, to ich już nie potrzebujemy, wyrzucamy je „za okno”, i to będzie właśnie dobrze. Wszystkie te przykłady ujawniają stałe uwalnianie matematyki od rachunku. Najpierw się rachuje jak można najlepiej, potem stopniowo wydobywa się podstawowe pojęcia, analizuje wewnętrzne mechanizmy, ostatecznie dostrzega, że aparat rachunkowy stał się niepotrzebny”.¹⁷

Ten cytat może się wydać czytelnikowi nie na miejscu w toku rozważań na temat nauczania naiwnej matematyki elementarnej. Ale z procesem przechodzenia od rachunku do idei i rozumowania pojęciowego spotykamy się na każdym poziomie kontaktów człowieka z matematyką. Celowo zilustrujemy to przykładem z praktyki uczniów bardzo jeszcze mało w matematyce doświadczonych.¹⁸

¹⁷    Jean Dieudonne: Lc point de vue du mathematicien concemat la place du calcul dans la mathómatiąue d'hui, Nico, 2, 1969, s. 10.

¹⁸    "Pomysł zaczerpnięto z książki: Maurice Glaymann, Tamas Varga: Probabilites a lecole, Cedic, Paris, 1973.

Rys. 27

Zadanie: na ile sposobów można ułożyć trzy żetony w pięciu pudełkach, umieszczając co najwyżej jeden żeton w pudełku - uczniowie dwunastoletni rozwiązują algorytmicznie: konstruują mianowicie „drzewo wszystkich możliwości” (na rys. 27 przyjęto oznaczenia: 0 - pudełko jest

puste, 1 - pudełko jest pełne). Wprowadza się symbol na liczbę możli-

\^k,

wych rozmieszczeń k żetonów w' n pudełkach i zapisuje się

rezultat

V

= 10. Rozwiązanie ma charakter algorytmiczny: jest to specy

ficzny rachunek prowadzony za pomocą drzewa (rys. 27).Następne zadanie: na ile sposobów można rozmieścić dwa żetony w pięciu pudełkach? Postępowanie algorytmiczne prowadziłoby do budowania nowego drzewa. Czy to konieczne? Pojawia się w miejsce rachunku idea: zmienić kod, 0 oznacza pudełko pełne, 1 puste, drzewa nie trzeba zmieniać, tylko je inaczej odczytać. Można je powiem interpretować dualnie. Odpowiedź w danym przy

padku brzmi:    = 10. Co więcej, od razu jest oczywiste w rezultacie uświa

n-k

domienia sobie tego dualizmu, że

dla dowolnego n naturalnego

i k naturalnego mniejszego od n (sprawę osłabienia tych założeń -n = k, k=0 - pomijamy, bo nie jest ona istotna dla naszych rozważań).

Drzewo może bowiem rosnąć w górę, ilość węzłów na gałązkach można zwiększać lub zmniejszać, ale zawsze będzie można je interpretować na dwa sposoby zmieniając kod, suma liczb zer i jedynek pozostaje zawsze równa liczbie pudełek.

271