Obraz3 (55)

Rozwiązanie takiego zagadnienia z członem zaburzającym wymaga zastosowania tzw. rachunku zaburzeń w obecności degeneracji stanów.

Podsumujmy w skrócie to, czego dokonaliśmy w pierwszym kroku rachunku zaburzeń w nieobecności degeneracji. Postawiliśmy warunek (15.14). Jak wiemy, w przypadku degeneracji stanów rozwiązaniami równania Schrodingera dla energii E% mogą być nie tylko funkcje wzajemnie zdegenerowane, ale i ich dowolne kombinacje liniowe. Zatem jeżeli myślimy o konsekwencjach wyłączenia zaburzenia, to rozwiązanie zaburzone może przejść w kombinację liniową rozwiązań niezaburzonych o nieznanych współczynnikach. Podstawowa idea rachunku zaburzeń w obecności degeneracji polega na systematycznym wyznaczeniu tych współczynników w przybliżeniu rzędu zerowego. W tym celu zapisujemy

łKr) =    c<⁰⁾ 0 _v (r)+poprawki,    (15.28)

tylko po stanach

zregenerowanych

przy czym sumowanie przebiega wyłącznie po stanach wzajemnie zdegenerowanych. Pomijamy człony poprawek. Równanie (15.28) ma kształt taki sam jak równanie (15.9), ale w tym przypadku nie sumujemy po wszystkich stanach. Mimo to współczynniki c⁽v⁰⁾ mogą być wyznaczone, jeżeli wrócimy do układu równań w postaci (15.13) i pozwolimy, by współczynniki # zastąpiły współczynniki c_v. Jeżeli mamy N wzajemnie zdegenerowanych stanów, to dostajemy N równań dla N nieznanych współczynników. Warunkiem koniecznym roz-wiązy walności układu równań jednorodnych jest znikanie wyznacznika jego współczynników. Dostajemy stąd warunek

'(&-E+HI 0    fff_i2 ...

(15.29)

= 0.

HU    (E°-E+Hl₂) ... Hl„

Hm    ...    (EZ-E+H&,,)

Wyznacznik ten jest nazywany również wyznacznikiem wiekowym. Po obliczeniu jest on wielomianem rzędu N względem energii E. Przyrównanie tego wielomianu do zera prowadzi do równania algebraicznego dla E, które ma N niekoniecznie różnych pierwiastków.

Jako konkretny przykład rozpatrzymy pierwszy stan wzbudzony atomu wodoru o głównej liczbie kwantowej n = 2. Funkcje falowe atomu wodoru są — jak wiemy — numerowane liczbami kwantowymi n, /, m. Aby powiązać je ze stosowanymi teraz wskaźnikami, zapisujemy

n = 2,    (15.30)

gdzie wykorzystaliśmy tabelkę:

1    dla l = 0, m = 0,

2    dla 1 = 1, m = 0,    (15.31)

^V 3 dla / = 1, m = 1,

4 dla / = 1, m = -1.

291