skanuj0024 (165)

wzdłuż prostej, prosta ta jest osią o krotności X i płaszczyzny tworzą z sobą kąty izjX. Ponieważ krotność osi musi być liczbą całkowitą, kąt między dwiema płaszczyznami jest wymiernym ułamkiem tu.

Twierdzenie to jest oczywiste dla X nieparzystego (3m₉ 5m ...). Mniej oczywiste jest dla Xparzystego (2m, 4m, 6m ...), gdy z bezpośredniego działania osi wynika tylko połowa płaszczyzn. W celu zaznaczenia, że istnieją dwie rodziny płaszczyzn, podwaja się symbol m. Twierdzenia te również można sprawdzić stosując odpowiednie operatory lub ich obrazy stereograficzne (rys. 1.11).

Im    2 mm    3 m    4 mm    5 m    6 mm

Rys. 1.11. Ilustracja twierdzenia 4

5.    Jeżeli istnieje tylko jedna oś o krotności większej niż 2, każda oś o krotności 2 musi być do niej prostopadła. Gdyby tak nie było, działanie osi dwukrotnej doprowadziłoby do powstania drugiej osi o krotności większej niż 2.

6.    Jeżeli oś o krotności 2 jest prostopadła do osi o krotności X, to istnieje X osi o krotności 2 tworzących z sobą kąty 7r/Z, przy czym wszystkie one znajdują się w płaszczyźnie prostopadłej do osi o krotności X.

Albo: jeżeli dwie osie o krotności 2 tworzą z sobą kąt tz\X, to w płaszczyźnie tych dwóch osi powinno istnieć X osi o krotności 2, a prostopadła do płaszczyzny ich przecięcia jest osią o krotności X.

I tutaj, podobnie jak w przypadku płaszczyzn symetrii (twierdzenie 4), z bezpośredniego działania osi o krotności parzystej X (w odróżnieniu od osi nieparzystych) wynika tylko połowa osi o krotności 2. Stosuje się także symbole 222, 422, 622, ..., lecz 32, 52, ... (rys. 1.12).

Rys. 1.12. Ilustracja twierdzenia 6

7. Istnieje jedynie niewiele różnych sposobów łączenia w grupę punktową kilku osi o skończonej krotności większej niż 2. Możliwe są tylko następujące kombinacje: osie trójkrotne + osie dwukrotne, osie czterokrotne + osie trójkrotne + osie dwukrotne, osie pięciokrotne + osie trójkrotne + osie dwukrotne.

28