str139 (4)

§ 4. FUNKCJE SFERYCZNE    1 39

tywamy równanie	Zadania przykładowe
0,1,2,...	Zadanie 4.1. Wyznaczyć wielomiany Legendre’a Pn{t) dla n = 0, 1,2, 3,4. Rozwiązanie. W zależności (4.6) mamy
keje postaci	■Po(0 = l,
= 1,2,...	następnie ze wzorów (4.7) otrzymujemy wielomiany z*i(0 = tP0(t) = t, ^(0 = ł^i(0-ł^o(0 = ł^-ł,
diodzą następujące zależności:	p*(t)=itp3(t)-ip2(t)=v<*- y *^2+ł-
ila n = 1,2,...	Zadanie 4.2. Wyznaczyć dołączone funkcje Legendre’a P„m(t) dla t = cos0, gdy n = 0,1,2 i O^m^n.
funkcji w przedziale < — 1, 1 >,	Rozwiązanie. Korzystamy ze wzoru (4.9) oraz z wyznaczonych wielomianów P„(t) w poprzednim zadaniu
1 # n,	^0 O O II O s—\ *** 'w' II 1—*
i = n.	Pio(0 = Pi(0 = t,
zywamy funkcje następującej \	Pu(t) = (l-t^2)* ^=(l-t^2)ł, at P2o(0 = P2(0 = łf^2-ł, dP i^,2i(0 = (l-f^2)^i-i/ł-^2 = (l-f^2)^ł3f,
(4.1) są dołączonymi funkcjami	P22(0 = (l-l^2)*^ = 3(l-l^2)*, P00(cos 0) — 1, PI0(cos 0) = cos 0,
PJcosO),	Pn(cos0) = sin0, P2O(cos0) = -f cos^2 0 — i,
'^2ji oraz 0 <0<rc, to współ-	P2 !(cos 0) = 3 sin 0 cos 0, P2 2(cos 0) = 3 sin 0. Zadanie 4.3. Przedstawić wielomian lP(.v) = 5.v^3+ 2x^2—x + 3 w postaci sumy wielomianów Legendre’a.
> mtp sin OdOdip,	Rozwiązanie. Z własności, że Pn(x) jest wielomianem stopnia n, wynika relacja W(x)= i onPn(x). n = 0
nup sin 6d9d<p,	Korzystając z otrzymanych wzorów na P„(x) dla n = 0, 1,2, 3 w zadaniu (4.1), możemy napisać następującą tożsamość: 5x^3 + 2x^2—jc + 3 = a0 + af + a2(Ąt^2 — i) + fl3(-fl^3 ~t0 >