str143 (4)

►WANIA § I. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PODSTAWOWE WŁASNOŚCI 143

►WANIA § I. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A I JEGO PODSTAWOWE WŁASNOŚCI 143

i /(/), będącej oryginałem, to

oryginału /(/) nie może być ymierną zmiennej s, to musi

fi) = ^O), to

= $2(s), to

r).

Własność 6' (n-krotne różniczkowanie oryginału). Jeżeli f⁽ⁿ⁾(t) jest oryginałem (wtedy również f(t), /'(/),    /<"“’>(/) są oryginałami oraz istnieją granice /(0 + 0), /'(0 + 0),

/^(n_1)(0 + 0)), to ze związku L(f) = <P(s) wynika wzór

(1.8) L [/⁽ⁿ⁾(0] = s"L [/(t)]—sⁿ l/(+0)—s"^_2/ (+0)—••• —/⁽"^-1)(+0),

gdzie f^w( + 0)= lim /^w(t), k = 0,1,2,...,n-l.

»->o+o

Własność 7 (całkowanie oryginału). Jeżeli funkcja /(/) jest oryginałem, to

(1.9)

Wzór (1.9) orzeka, że całkowanie oryginału sprowadza się do dzielenia obrazu (transformaty) przez s.

Własność 8 (różniczkowanie obrazu (transformaty)). Jeśli L [/(/)] = <I> (s), to

(1.10)    L[-t/(0] = 4>'(s).

Wzór (1.10) orzeka, że różniczkowanie obrazu sprowadza się do wymnożenia oryginału przez (—/)•

Własność 8' (n-krotne różniczkowanie transformaty). Jeśli L[/(r)] = <P(s), to (1.10')    L [(- l)ⁿ f*/(t)] = 4>⁽ⁿ⁾(s) ■

Wzór (1.10') orzeka, że n-krotne różniczkowanie obrazu sprowadza się do wymnożenia oryginału przez (—l)"/'¹.

Własność 9 (całkowanie obrazu). Jeżeli funkcja f(t)/t jest oryginałem, to ze związku L [/(/)] = <f>(i) wynika wzór

(1.11)

ffl-l

$ (s) ds,

gdzie j = lim j.

5    Re p-* 00 s

oryginałem (wtedy /(/) jest <P(s) wynika wzór

Własność 10 (podobieństwo). Jeśli L [/(/)] = <P(s), to

(1.12)    L[/(aO] = ^(^,

gdzie a>0.

ie postać

Własność 11 (przesunięcie oryginału). Jeżeli L [/(?)] = #(■*)> to

(1.13)    L[/(f —a)] = e““4>(s) dla dowolnego a>0.

de oryginału sprowadza się

Wzór (1.13) orzeka, że przesunięcie wykresu funkcji f(t) wzdłuż osi Ot o odcinek a sprowadza się do wymnożenia obrazu (transformaty) przez e~".