str225

GO i 3. RÓWNANIE LAPLACE’A 225

2

¹ i

zarze Q,

'a tv każdym punkcie Ae Q

'Jędem swoich argumentów

Laplace'a w obszarze prze-m równania Laplace'a u (A) , gdzie f(P) dla Pe S jest

. w przestrzeni za pomocą

:eniu funkcji u (A) ciągłej ctórej pochodna normalna

t:

cji brzegowej dwa rozwiązaną się one od siebie o stalą.

funkcji u(A) ciągłej w ob-jącej na brzegu S następu-

3rzy czym a(P) # 0.

i.związanie. W zależności od zybiera odpowiednią postać

a) we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich x, y)

d²u 8²u

<³-^,7>    a?V^#’

b) we współrzędnych biegunowych r, (p

d²u 1 du

(3.18)

dr²

dr

1 d²u

12 aT2~

d(p

Definicja 12. Rozwiązaniem podstawowym równania Laplace'a na płaszczyźnie lub potencjałem logarytmicznym nazywamy funkcję

(3.19)    «(r) = ln-,

gdzie

r = V(x-x₀)² + (y-y₀)²-

Własność 13. Funkcja (3.19) jest funkcją harmoniczną w całej przestrzeni z wyłączeniem punktu P(x₀,y₀).

Definicja 13. Funkcją Greena równania Laplace'a w obszarze płaskim D ograniczonym linią gładką C nazywamy funkcję dwóch punktów A(x,y) i B(ę,ą)

1

(3.20)    G(A,B) = ln—+g(A,B),

gdzie

r = \AB\ = V(jc — £)²+(y—>/)²,

przy czym funkcja g(A, B) ma następujące własności:

a)    spełnia równanie Laplace’a względem punktu B w obszarze D,

b)    lim g(A, B) = \n\AP\, gdzie A, Be D i PeC.

B-+P

Własność 14. Funkcja Greena (3.20) spełnia równanie Laplace'a w każdym punkcie Ae D i A =£ B, a ponadto lim G(A, B) = 0 dla Be D i PeC.

a-p

Własność 15. Funkcja Greena (3.20) jest symetryczna względem swoich argumentów G(A, B) = G(B, A) dla A, Be D i A ji B.

Własność 16. Jeżeli G(A, B) jest funkcją Greena równania Laplace'a w obszarze płaskim D ograniczonym linią glądką C, to rozwiązaniem równania Laplace'a u (A) w obszarze D spełniającym na brzegu C warunek u(P) = .f{P), gdzie f(P) dla PeC jest z góry daną funkcją, jest funkcja następującej postaci:

(3.21)

u (A)

-il

dG(A,P)

m—^—di

on

p ■

Powyższy wzór stanowi rozwiązanie zagadnienia Dirichleta na płaszczyźnie za pomocą funkcji Greena. Warunek brzegowy (3.6) występujący w zagadnieniu Dirichleta jest

15 —Wybrane działy matematyki...