str229

[EGO

: 3. RÓWNANIE LAPLACE'A

229

:łnia żądane warunki, a mia-

(6)

Rys. 4.8

zegowy: k<-a,

K,

x>a.

iczyzny y>0 (patrz rys. 4.8). przybiera postać

co możemy zapisać następująco:

x ,, (x-S)²+(y+ri)²

(5)    G(x,y,ł,j) = i ln---j—--₂.

(x-0 +(y-tiY

Funkcję u(x, y) możemy obecnie wyrazić za pomocą wzoru (3.21) dG(A,P)

f(P) , ’dl„

on

gdzie P są punktami leżącymi na linii C (y = 0). W rozważanym przypadku wzór (6) przybiera postać

(7)

gdzie

zatem

(8)

■“•a-sKffL,*-

—a

dG (x+_n) [(x - o²+(y-t/)²]+(y-n) [(* -0²+(>^,+t?)²]

dri

[(x-^² + (y-ą)²][(x-^)²+(y+»;)²] (dG\ ₌ 2y

\dn /,=o* (*-S)²+y²‘

Po uwzględnieniu zależności (8) we wzorze (7) mamy

dt,

.    . y₀y f <

«(x,y) = —    ;—,

« J (*-<

-tf+y²’

skąd po obliczeniu całki oznaczonej otrzymujemy końcową postać szukanej funkcji «(x, y)

V₀Y a-x    a + xl

u(x, y) = — arctg — -t-arctg- .

* L y    y J

do punktu A(x, >0 względem '. Odległość punktów A (x, y) ez g, tzn. że

3 ma postać

§ 4. Równanie Poissona

Definicja 1. Równaniem Poissona nazywamy równanie różniczkowe cząstkowe o następującej postaci:

(4.1)    P²« = f,

gdzie / w zależności od rodzaju układu współrzędnych jest funkcją odpowiednich zmiennych np. f = f(x,y,z) — w układzie kartezjańskim, / = f(r,(p,ż) — w układzie walcowym, / = f(r,0,(p) — w układzie kulistym. Analogiczna uwaga dotyczy laplasjanu p²« (patrz wzory 3.3, 3.4 lub 3.5).