1tom153

6. ELEKTROTECHNIKA TEORETYCZNA 308

6.7.5. Funkcje Greena dla równania Laplace’a (tabl. 6.13)

Tablica 6.13. Funkcje Greena dla równania Laplace’a, wg [6.4]

Obszar trójwymiarowy Q ograniczony powierzchnią S

G(A,B) = ~ +g{A.B) r

A{x,y,z), B(c,rj,ę) punkty obszaru Q r = y/(x - i)² + (y - rj )² -r (z - C)^z G(A,B) = G(B,A)

Rozwiązanie V²u = 0 dla u(P) = f(P). PeS

1    8G(A_yP) _A ,

u{A) = —J/(/>)-dSiF)

4x V «

Obszar płaski S ograniczony konturem /'

G(A,B) = ln- +g(A,B) r

r = _v^,U-ć)^:+(y-7)^;

1    ĆG(A.P) , ,

«(4)= - [/(/■)    d l(P)

2k _r    cn

6.7.6. Metoda rozdzielania zmiennych

Metodę tę przedstawiono na przykładzie rozwiązania równania Laplace'a (w układzie kartezjańskim) [6.3: 6.4; 6.6; 6.7]

S^2u o ^2u c^2u TT ^+ TT ^+ TI ^= ® 8x cy cz^2	(6.145)
Przyjmując
u = A"(x) Y(y)Z(z) = XYZ	(6.146)
Po podstawieniu (6.146) do (6.145)
d^2X d^2y d^2Z ^7Z dx^2+ZZdy^2+Xydz^2=°	(6.147)
W wyniku przekształceń otrzymuje się
d^2X , d^2y dx2+p^2X = °; d>-2 +9 ^y = ° ^pr-(p^2 + q^2)Z = 0; Jp^2 + ą^2 =r	(6.148)

Rozwiązanie równania (6.145) ma postać

u = XYZ = £ Y, (zł*cospx + B_tsinpx)(C,cos<jy +

k -O 1 = 0

+ D,sin py) (E_kle= + F_kle ~ ")    (6.149)

przy czym: A_k, B_k, C,, D„ E_u, F_a — stałe całkowania. Ich wartości są określone na podstawie warunków brzegowych.

6.7.7. Metody wariacyjne

Metody wariacyjne [6.4; 6.6] polegają na zastąpieniu rozwiązania zagadnienia brzegowego dla równania różniczkowego minimalizacją równoważnego funkcjonału. Funkcjonał równoważny zagadnieniu Neumanna

d u d n

. = <Po

(6.150)

dla niejednorodnego równania Helmholtza

(6.151)

- -z-(p*ir) ~ -?-U™)+k²u =f

ox\ cx J oy\'dyJ

ma następującą postać:

«-»[*■

2/u |d.xdy + 2 ję>₀ud/'

(6.152)

W przypadku zagadnienia Dirichleta człon ę₀u zeruje się. Funkcjonał równoważny zagadnieniu Dirichleta dla równania Laplace'a

*(«0 = ff

s

Px = Py = ¹

dx dy

² fdu\^r

⁺U] J (6.153)

Do minimalizacji funkcjonału są stosowane metody przybliżone. Metoda Ritza polega na zastąpieniu poszukiwanej funkcji następującym szeregiem;

(6.154)

u(x,y) = (p₀(x,y)+ £ x_ta>_k(x,y)

gdzie: ę>₀(x,y) — spełnia niezerowe warunki brzegowe; (p_k(x,y) — spełnia zerowe warunki brzegowe; x_t — wyznacza się z warunku minimum funkcjonału

E<t>

dx.

= 0

(6.155)

Metoda Kamorowicza jest uogólnieniem metody Ritza

n

(6.156)

u(x,y) = ©₀(x.y) + £ x_k(x)<p_k(x,y)

6.7.8. Metoda elementów skończonych

Metoda ta [6.6] polega na numerycznej minimalizacji funkcjonału. Obszar ograniczony brzegiem F dzieli się na podobszary (elementy skończone) (ry s. 6.31). W każdym elemencie zakłada się następującą postać szukanej funkcji:

u*(x,y) = [rV_;(x,y), N/x,y),...] [u,,_Uj,...]^r = Nu^T    (6.157)

gdzie: .\ — wektor funkcji kształtu; u—wektor poszukiw anych wartości funkcji w węzłach ly.«-) elementu

Funkcjonał <f> minimalizuje się względem funkcji u we wszystkich węzłach obszaru 'Ocznie z brzegiem fj

__ f c<P du |_ĆUj

C<P

ću,

C<f> ’ cu_r

= o

(6.158)