WiŻ0

wiedza lżycie listy czytelników

ukazuje się od 1910 roku

regularne wydania od 1926 roku (nr kolejny 8*5)

www.wiz.pl

Redaktor naczelny

ELŻBIETA WIETESKA

tel. [phone]

[e-mail]

Sekretarz redakcji

KRZYSZTOF SZOLGINIA

tel. [phone]

[e-mail]

Redaktorzy

IAROSŁAW CHROSTOWSKI

tel. [phone]

[e-mail]

ANDRZEJ HOŁDYS

[e-mail]

DANIEL LENART

tel. [phone]

[e-mail]

Weronika Suwa

[e-mail] MAŁGORZATA T. ZAŁOGA [e-mail] Opracowanie graficzne i skład TOMASZ TATKOWSKI tel. [phone] [e-mail] Fotoedycja

AGNIESZKA MARKOWSKA tel. [phone] [e-mail] Korekta

MARIOLA BĘOKOWSKA

JEFW*BKWA JERZY BRALCZYK,

MAREK CHROMICKI, AGNIESZKA KRZEMIŃSKA. HANNA MĘCZYŃSKA, MAREK PENSZKO, ANDRZEJ PIEŃKOWSKI, TOMASZ ROŻEK,

MARON RYSZKIEWICZ, KRZYSZTOF SZYMBORSKI

Rada Naukowa

Proł. dr hab. EWA BARTNIK

ProŁ dr hab. MAREK DEMIAŃSKI

Proldr hab. MICHAŁ KLEIBER

Prof. dr hab. HENRYK SAMSONOWICZ

Prof. dr hab. med. JAN STEFFEN

Prof. dr hab. ANDRZEJ KAJETAN WRÓBLEWSKI

Adres redakcji

ul. Garażowa 7,02-651 Warszawa e-mail: [e-mail]

Wydawca

ul. Garażowa 7,02-651 Warszawa

tel. [phone], faks (0-22) 848-22-66

[e-mail]

Prezes Zarządu

MACIEJ MAKOWSKI

Dyrektor marketingu

ANNA DERENGOWSKA

tel. [phone]

[e-mail]

Sekretariat wydawnictwa

tel. [phone]

[e-mail]

Promocja

JADWIGA IANIK

tel. [phone]

[e-mail]

Reklama

tel. [phone] Prenumerata i numery archiwalne

tel. [phone] lub 651 (w godz. 8.00-18.00) faks: (067) 21-08-659 (z dopiskiem prenumerata) e-mail: prenumerata@proszynskimedia4)l Kolportaż

Firma 2M Magdalena i Marek Szwed ul. Garażowa 7,02-651 Warszawa, tel. [phone] e-mail: [e-mail]

Druk

Winkowski Sp. z o.a, ul. Okrzei 5,64-920 PHa INDEKS 38t42X, ISSN Ot 37-8929 Copyrigpw © Prószyński Meda Sp z aa 2008

Redakcji me odpomda a treść zamieszczanych reklam Wjdamca mesięartta „Wedza i Żyde' ostrzega PT. Sprzedane** po cenie Innej niż wydrukowana na oWadce jest działaniem

CZY ABY NA PEWNO SPRAWIEDLIWA?

Już od 20 z górą lat jestem czytelnikiem Waszego pisma. „WiŻ" cenię za różnorodność tematyczną, dostosowanie poziomu artykułów do możliwości intelektualnych przeciętnego czytelnika oraz za rzetelność merytoryczną. Interesuję się głównie naukami ścisłymi, toteż z wielką uwagą i przyjemnością czytam wszelkie teksty poświęcone matematyce. Jednym z takich tekstów był „Hazardzista" Jacka Miękisza („WiŻ” 5/2008). Gra hazardowa z użyciem monet opisana w ramce na str. 59 została uznana za sprawiedliwą, z czym, po własnych przemyśleniach i obliczeniach, trudno mi się zgodzić.

Autor rozważa szanse zaistnienia jednego z dwóch cykli: trzech wygranych z rzędu i trzech przegranych z rzędu, dochodząc do wniosku, że szansa na zaistnienie każdego z rozpatrywanych cykli jest identyczna i wynosi 9/160 (od siebie dodam, że szanse te są równe niezależnie od pozycji startowej gracza, tzn. reszty z dzielenia jego początkowego kapitału wyrażonego w złotych przez 3) i na tej podstawie stwierdza, że gra jest sprawiedliwa. Według mnie jest to wniosek przedwczesny, gdyż rozpatrywane cykle nie są jedynymi możliwymi, a do wyznaczenia wartości oczekiwanej należy wziąć pod uwagę wszystkie możliwe wyniki doświadczenia. W tym przypadku możliwych ciągów jest 2³ = 8. Gdy oznaczyć: W wygraną, P przegraną w trzech następujących po sobie rzutach, zajdzie jeden z ciągów zdarzeń: WWW, WWR WPW, WPR PWW, PWR PPW, PPR Prawdopodobieństwa tak określonych zdarzeń doświadczenia polegającego na trzykrotnym rzucie monetami zgodnie z założonymi regułami są różne i na dodatek zależne od stanu początkowego (czyli tego, którą monetą rzucamy na początku). [...]

Gdy przeanalizujemy wartości oczekiwane naszej gry w każdym z trzech rozpatrywanych przypadków (początkowo reszta z dzielenia 0,1,2), okaże się, że w przypadku, gdy rozpoczynamy grę od rzutu „lepszą monetą", to w cyklu trzech rzutów wygramy średnio 0,71 zł, zaś w pozostałych dwóch przypadkach, gdy rozpoczynamy rzuty od „gorszej” monety, w tatom cyklu przegramy średnio 71/160 zł. Ponieważ możemy założyć, że każdy stan początkowy jest jednakowo prawdopodobny, to wartość oczekiwana oznaczająca wygraną w serii trzech rzutów (niezależnie od stanu początkowego) wynosi: 1/3 (71/100-71/160-71/160) = -0,0591 (6). Gra nie jest więc sprawiedliwa!

Ale to jeszcze nie wszystko! W rozważaniach ograniczyliśmy się do analizy serii trzech rzutów, a przecież z zasad gry nie wynika takie ograniczenie. Możemy rzucać dowolną liczbę razy: jeden, dwa, pięć, sto, a nawet (przynajmniej teoretycznie) nieskończoną ilość. Wartość oczekiwaną tej gry dla jednego rzutu w losowo wy

branym stanie początkowym należałoby więc, według mnie, obliczyć następująco:

1/3(1 x 0,9-1 x 0,1)+ 2/3(1 x 0,25-1 x 0,75) = -1/15 Oznacza to, że statystycznie w serii 15 rzutów stracimy 1 zł. Czyżby moje rozumowanie nie było poprawne? Jeśli tak, to gdzie tkwi błąd?

V EDMUND TRENDAK

PANA uwagi i obliczenia są prawdziwe aż do momentu, kiedy twierdzi Pan, że każdy stan początkowy jest jednakowo prawdopodobny Otóż tak nie jest!!! Tutaj wfaśnie tkwi specyficzna pułapka probabilistyczna.

Oznaczmy odpowiednio przez p_ff p_r p₂ częstotliwości posiadania przez nas kapitału podzielnego przez 3, dającego resztę 1 i odpowiednio resztę 2 przy dzieleniu przez 3. Wtedy, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite, otrzymujemy następujące trzy równania:

Po⁼ (3/4) _Pl + (1/4) p^, p, = (9/10) p₀ +(3/4) p,

P₂ = (1/10) P₀ + (1/4)_Pr

Jedynym rozwiązaniem, dla którego p₀+p₁+p₂ = 1,

jest p₀ = 5/13, p_t = 6/13, p₂ = 2/13.

Widać wtedy, że prawdopodobieństwo wygrania w jednym rzucie wynosi (5/13) * (9/10) + (8/13) * (1/4) = 1/2, a więc gra jest sprawiedliwa.

Jeśli wstawimy powyższe częstotliwość do odpowiednich wyrażeń na wartości oczekiwane wyprowadzone w Pana Uście, to otrzymamy 0. Zachęcam do zapoznania się z moim artykułem w „Delcie" (11:1-4, 2006), gdzie ten aspekt gry został przedyskutowany w języku łańcuchów Markowa.

JACEK MIĘKISZ

W NASTĘPNYCH NUMERACH

WĘGIEL, JAKI JEST, KAŻDY WIDZI?

Jeden pierwiastek, niby dobrze znany, a tak różne są jego oblicza - grafit, diament, fullereny, nanorurki, a ostatnio jeszcze grafen. Raz twardy, raz miękki, raz przewodnik, innym razem izolator. Co nowego dowiedzieliśmy się o odmianach alotropowych węgla w ostatnich latach?

3 10 września przez akcelerator LHC przebiegną pierwsze wiązki protonów. Wrota nowej fizyki otworzą się przy dużym udziale Polaków, o czym specjalnie dla nas piszą naukowcy pracujący nad projektem.

^ Problem kryształu, czyli co matematyka ma do powiedzenia na temat układania kafelków i wycinania ciastek.

►3 Spełnia się jedno z największych marzeń badaczy oceanów. Wkrótce na dnie Pacyfiku zaczną działać pierwsze w dziejach stałe obserwatoria badawcze z automatyczną aparaturą pomiarową.