z4 (15)

c) Rozwiązać powyższe równania ruchu, nakładając właściwe waruiuu

2. Energia potencjalna dla drgań atomu w sieci regularnej kryształu sodu ma postać V(xy.T)~ ‘Ą Kir^yr+ż²) ~ ^J/t Kfr^+z³) “ 'Vł kR\ gdzie a: jest stałą siłową, x.y.z oznaczają składowe wektora wychylenia, R jest jego modułem, a r jego rzutem na płaszczyznę xy. Kryształ znajduje się w temperaturze T.    (.5)

af Zapisać i unormować rozkład MaxweIła*Boltzmanna opisujący liczbę atomów sodu, dla których wartości składowych x, y wychylenia mieszczą się w infinitez\ malnych przedziałach fx. x-JxJ,    bez względu na wartość składowej z.

b) Znaleźć wzór na liczbę atomów, dla których rzut r wychylenia na płaszczyznę xy mieści się w przedziale [r.r+dr].

c)    Znaleźć najbardziej prawdopodobna wartość rzutu r wychylenia na płaszczyznę xy.

d)    Znaleźć średnią wartość rzutu r wychylenia na płaszczyznę xy. ej Znaleźć średnią wartość kwadratu wychylenia (R').

#) Znaleźć wkład oscylacyjny do moktuego ciepła właściwego w granicy wysokich temperatur.

4. Funkcja falowa pewnej cząstki poruszające) ssę rsa pł*s/c/yżnie ma postać (tir. exp(-r),

gdzie r, <p oznaczają odpowiednie współrzędne biegunowe, przy czym promień r liczony jest w jednostkach bezwymiarowych.    <1.5)

aj Unormować funkcję y/.

b) (Jbhczyć odległość od środka układu współrzędnych, dla której prawdopodohłeństwio zmkzKmia cząstki jest maksymalne.

5 flanc są operatory Md ^M_x±iM_y, gdzie A/ jest operatorem momentu pędu. Obliczyć komutatory    (H

MilU Mib)HM-Ml