img132 (4)

5. Przekształcenie Laplace’a, przekształcenie Z.doc, 9/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z

przekształcenie Z jest efektywnym narzędziem do analizy i syntezy sygnałów i układów czasu dyskretnego i jest odpowiednikiem przekształcenia Laplace’a dla układów czasu ciągłego

transformatą Z ciągu rzeczywistego (funkcji rzeczywistej argumentu całkowitego) {*(/?)} jest funkcja zespolona zmiennej zespolonej z zdefiniowana równaniem

X{z)= f^x(n)z~"

tt=~oo

gdzie:    X(z) - transformata Z ciągu {x(n)}

z - zmienna zespolona

powyższa transformata nazywana jest transformatą dwustronną transformata Z jednostronna określona jest wyrażeniem

x (z)=X *(»>■"

M=0

dla ciągów przyczynowych obie transformaty są równoważne

5. Przekształcenie Laplace'a, przekształcenie Z.doc, 10/14

PRZEKSZTAŁCENIE Z (cd)

przekształcenie Z nie jest zbieżne dla wszystkich ciągów oraz wszystkich wartości zmiennej z, niezbędne staje się zbadanie warunków zbieżności

zbiór wartości z , dla których transformata danego ciągu jest zbieżna nazywa się obszarem zbieżności

szereg jest zbieżny w pierścieniu płaszczyzny zmiennej z

R_x.<\z\<R_Xt

gdzie: R_x_ może osiągać zero, natomiast R_x_ może dążyć do nieskończoności

ważną klasą transformat Z są transformaty będące funkcjami wymiernymi, tzn. będące stosunkami wielomianów zmiennej z

pierwiastkami wielomianu licznika są te wartości zmiennej z, dla których X(z) - 0, nazywa się je zerami funkcji X(z)

wartości zmiennej z, dla których X{z) dąży do nieskończoności nazywa się biegunami funkcji X(z), dodatkowo bieguny mogą występować dla z = 0 lub z = oo

bieguny transformaty X(z) nie mogą występować w obszarze zbieżności, ponieważ transformata Z nie jest zbieżna w biegunie