80281 img128 (4)

5. Przekształcenie Laplace'a, przeksztatcenieZ.doc, 1/14

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A

klasyczne przekształcenie Fouriera zakłada spełnienia przez sygnał x(f), którego widma poszukujemy, spełnienia warunku bezwzględnej całkowalności

j]x(f)|<# < oo

warunek powyższy znacznie zawęża klasę 3 transformowalnych sygnałów

dla sygnałów nie spełniających warunku bezwzględnej całkowalności nie istnieje przekształcenie Fouriera w zwykłym sensie, można jednak wprowadzić pojęcie widma takich sygnałów jeśli dopuścimy możliwość jego opisu funkcjami uogólnionymi

przykład

najprostszym niecałkowalnym bezwzględnie sygnałem jest sygnał stały x₀ = const, jego czasową postać można wyznaczyć z odwrotnego przekształcenia Fouriera nieznanego na razie widma X₀(co)

JLot

1 -_f ^

x₀ = — JX(to)jco

5. Przekształcenie Laplace’a, przekształcenie Z.doc, 2/14

PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A (cd)

wykorzystując właściwość filtracji dystrybucji Diraca

Jx(/)8(/)cfr = x(o)

—00

dochodzimy do wniosku, że odwrotne przekształcenie Fouriera wyraża związek toźsamościowo spełniony jeśli

X₀(co) = 27ix₀ó(co)

możliwość uzyskania widmowej reprezentacji sygnałów, których modele matematyczne nie spełniają warunków bezwzględnej całkowalności, bez odwoływania się do pojęcia funkcji uogólnionych umożliwia wprowadzenie pojęcia pulsacji zespolonej i definicji przekształcenia Laplace’a

rozważmy sygnał x(t) nie spełniający warunków bezwzględniej całkowalności; pomnożymy sygnał x(?) przez czynnik wykładniczy e~^ct, gdzie c jest wielkością

rzeczywistą dodatnią i stałą dobraną tak, aby funkcja x{i)e~^ct spełniała warunek bezwzględnej całkowalności.