Egz rurki1

EGZAMIN ZE WSTĘPU DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Czas pracy: 120 min. Test wielokrotnego wyboru. W pytaniach testowych proszę zaznaczać prawdziwe zdania literą T. a nieprawdziwe literą N. Ewentualnych zmian odpowiedzi proszę dokonywać przez wykreślenie starej odpowiedzi i wpisanie obok nowej. Udzielenie każdej poprawnej odpowiedzi jest warte 1 punkt. W zadaniach nietestowych proszę wpisywać jedynie odpowiedź. Każde zadanie nietestowe jest warte 6 punktów. Obowiązuje absolutny zakaz korzystania z telefonów komórkowych! Proszę podpisać kartkę z zadaniami (WYRAŹNIE!) i zanotować sobie numer zestawu zadań. Na liście wyników pojawią się jedynie te numery!

Pierwszy termin, 16/06/11, zestaw nr:    IMIĘ I NAZWISKO:

1	1-	5		3	u	I	5-	c	3-
2	a	b	c	;1	12	a	b	c	:1
3					13
4					14	a	5	c	3
5					15
6					16	a	b	c	3
7					17	a	5	c	3
8					18	a	b	Z	3
9	K	b	C	d	19	I	b	c	cl
10	a	b	C	1	20	a	5	5	a-

1. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:

a)    każdy problem Cauchy’ego mający rozwiązanie ma również rozwiązanie wy sycone

b)    docieranie do brzegu lewym końcem implikuje docieranie do brzegu,

c)    każde ciągłe pole wektorowe indukuje układ dynamiczny, Ni5 UmjIp

d)    macierz hipcrboliczna ma zawsze zerowy wyznacznik, fjlg_

Wu.ludzi c

tau. ******* Alt LcImm*

2. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że a) układ gradientowy może mieć nieograniczone trajektorie

,    ^    _ u_(Uij Im    IMWM

b)    każdy układ gradientowy jest równocześnie układem hamiltonowskim,    •    ^1    0 V

c)    wartość funkcji Lapunowa wzdłuż trajektorii jest zawsze funkcją ściśle malejącą.

d)    punkt siodłowy jest stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.

,/ = -2if    ^

AUbkitlO- <aędtit*

3. Znajdź rozwiązanie wysycone problemu Cauchy’ego    . Podaj jego dziedzinę.^    cJJa tk -<*>

4. Znajdź rodzinę krzywych wypełniających R² i prostopadłych w każdym punkcie do rodziny parabol {y = j²-fc : ce R}._leMlifahm **

5. Rozwiąż równanie różniczkowe u' = c^x+v — 1._D^/R, to A jc+

6. Znajdź rozwiązanie wysycone problemu Cauchy

⁰⁸⁰ { f(0) =^0 ² ' ^PodaJ J⁽¹g° dziedzinę.

7. Znajdź wszystkie rozwiązania równania różniczkowego i/ + u

8. Znajdź czynnik całkujący dla równania (zy² -t- y)<lx — xdy = 0.

+ y¹⁰ = 0.

-Ul

9. Rozważmy równanie $/ = sin y. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:    _    _y.

a) wszystkie rozwiązania tego równania są monotoniczne,    twwU&rfó/ b- ( tś 77 -

_ ir

b) istnieje rozwiązanie wysycone, którego dziedziną nic jest R.

c) rozwiązanie przechodzące przez punkt (0, n/4) jest wypukłeTAK tj¹¹ ^

d) każde rozwiązanie jest funkcją ograniczoną. Tf\UL ■2. p»l»-fv«łn (q2€VtM0    ¹

mi

ry

i A....    —....    J .