3582277861

Kolegium Nauczycielskie w Bielsku Białej Egzamin ustny ze wstępu do analizy matematycznej dla studentów I roku kierunku matematyki na studiach dziennych

1.    Odwzorowania i ich podstawowe własności - monotoniczność, ograniczoność, iniektywność, suriektywność, bijektywność, parzystość, nieparzystość, okresowość. Składanie, odwracanie, obrazy i przeciwobrazy zbiorów. Podstawowe funkcje elementarne i ich własności.

2.    Aksjomatyka zbioru liczb rzeczywistych. Ograniczone i nieograniczone podzbiory zbioru liczb rzeczywistych. Kresy zbiorów. Aksjomat ciągłości.

3.    Zasada Archimedesa i zasada minimum oraz wnioski z nich wypływające.

4. Granica ciągu w R. Ciągi rozbieżne do nieskończoności. Warunki konieczne i wystarczające zbieżności i rozbieżności ciągu. Przykłady.

5.    Granica ciągu a struktura algebraiczna i porządkowa zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenia o granicy sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów. Twierdzenia o związkach nierówności pomiędzy wyrazami a granicami ciągów zbieżnych. Twierdzenie o trzech ciągach.

6.    Charakteryzacja zbieżności za pomocą pojęć punktu skupienia i podciągu. Twierdzenie Bolzano Weierstrassa. Warunek Cauchy'ego i zupełność przestrzeni R

7.    Zbieżność i zbieżność bezwzględna szeregów o wyrazach rzeczywistych i zespolonych. Podstawowe kryteria zbieżności szeregów. Przykłady.

8.    Zbieżność szeregów potęgowych. Twierdzenie Cauchy-Hadamarda. Definicje funkcji wykładniczych i trygonometrycznych za pomocą szeregów potęgowych.

9.    Przestrzenie metryczne. Metryki: naturalna w R, zero-jedynkowa, euklidesowa w R^n. Kule w przestrzeniach metrycznych i ich postać w różnych metrykach. Zbiory otwarte i domknięte.

10.    Zbieżność ciągów w przestrzeniach metrycznych, w R^An. Warunek konieczny zbieżności. Zbieżność w metrykach równoważnych i nierównoważnych.

11.    Zbiory zwarte w przestrzeniach metrycznych i ich podstawowe własności. Związek zwartości z zupełnością.

12.    Granica funkcji w przestrzeniach metrycznych - definicje Heinego

i Cauchy'ego. Granice jednostronne. Przykłady funkcji mających i nie mających granic w punkcie.

13.    Twierdzenia pozwalające wyznaczać granice funkcji: o trzech funkcjach;

0    sumie, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji. Przykłady.

14.    Ciągłość funkcji w przestrzeniach metrycznych. Działania na funkcjach ciągłych. Ciągłość złożenia. Przykłady.

15.    Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych i zbiorach spójnych. Podstawowe twierdzenia. Ciągłość jednostajna.

16.    Ciągłość funkcji elementarnych. Granice związane z funkcjami elementarnymi Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie. Podstawowe przykłady.

17.    Interpretacja fizyczna i geometryczna pochodnej funkcji. Obliczanie pochodnych. Pochodna złożenia, pochodna funkcji odwrotnej. Pochodne funkcji elementarnych.

18.    Twierdzenia o wartości średniej i wnioski z nich wypływające. Wzór Taylora

1    jego zastosowania.

19.    Ekstrema lokalne funkcji, punkty przegięcia funkcji. Warunki konieczne i wystarczające. Przykłady.

20.    Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona. Podstawowe metody wyznaczania całki nieoznaczonej.