Image90

178

7.2. Ponieważ nie ma strat cieplnych do otoczenia, całe ciepło przepływające przez pręt zostanie zużyte na stopienie lodu, zatem

T* — T₂

XSt --- = c_lm,

JU

m

X St

T_Ł

Lei

7.3. Rozpatrzmy bilans cieplny w objętości pręta między przekrojami x i x -f dx. Od strony lewej wchodzi w czasie dt do tej objętości następująca ilość ciepła

a z prawej strony uchodzi

Ponadto wskutek przewodnictwa zewnętrznego z tej objętości przez jej powierzchnię boczną uchodzi

Q₃ = kpdx - dt.

Z drugiej strony przyrost ilości ciepła w danej objętości pręta wynosi

Q = mcdT = S dxpc dT.

A zatem

co po podstawieniu daje

kp dx (T — r₃) dt = Sdxpc dT.

Po rozwinięciu w szereg Taylora wyrażenia

wokół punktu x

dT _ X d²T

dt cp dx²

7.4. Podstawiając wyrażenie

do równania przewodnictwa cieplnego

dT

Tt

= a²

d²T

dx²

i korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu całki jako funkcji górnej granicy całkowania, mamy

To x

2a y/nt

= —a

T₀ x

X*

4 a^t

2 a³ y/~Kt

Rozpatrywane wyrażenie czyni więc zadość równaniu przewodnictwa cieplnego, warunkowi początkowemu

T = T₀ dla t = 0, x > 0

i warunkom granicznym

T = 0

dla

0,

t > 0,

II

Dowód jednoznaczności tego rozwiązania pomija