img049 (25)

178

dla

N„->(x)+N„_+l(x) = — N„(x),    /V„_, (a) -    (x) ,

N.„ W = (-1 f N_n (x),    ~^Nr(x) = -^ N_n (x) ₊ N„__l(x),

jx"^+,N„(x)dx = x"⁺'N_n+](x), jx-^n+lN„(x)dx = -a-^A^-iM,

i'a    A^₀(a) = -A’₁(a),

Jn (a)A„₊| (a)- J_n+\ {x)N_n (j) = “,    /₀_((a)+ /_n+| (a)= 2/„(a),

^-lW-^₊,W=y/„(A),    /_„(a)=/„(a),

^^!" W ^{= 7}»-l(*)"(*).    \xⁿ*'l_n(x)dx = a"⁺ⁱ/„_+i (a),

\x~"^+x I _n(x)dx = a-"⁺ⁱ/„_,(a),

^{d,a    /}oW=^/iW»

K_n+\{^x)-^n-\{^x)-~^n{^x)y    K_n_\(x)+ K_n+X (x) = -2K_n(x),

^K-n(*)= K_n(*)>    ~KSx)=-K_n_,{x)-ⁿ-K_n{xl

ax    x

\xⁿ⁺'K_n{x)dx = -xⁿ⁺'K_n+] (a),    = -x~"^+lK„__l (a)

Ha    K₀(x) = -K_l(x),

K„(x)J

n+1 (x)+K

n+1 (*v» (*)=-•

i /y

c) Rozwiązanie równania Laplacc'a w układzie współrzędnych sferycznych.

Równanie potencjału we współrzędnych sferycznych ma postać

1 c	2
{r~ cr	l dr j

+

r ² sin 0 d&

1

d ( . „d^ sin© — ĆG

2 \

v

+

r ² sin² 0 d(p² _>

Do jego rozwiązania posłuży podstawienie

V(r,S,<p)= R{r)D(Q)®{<p).

r² sin² 0

Po pomnożeniu równania (11-38) przez - otrzymuje się

V = 0. (11-38)

(11-39)

RD O

sin² 0 d ( j d „r \\

R(r) c j

r~ —R(r)

dr

+

sin© d

D{Q)dQ

sin© —D(©) +

dQ ' ')    ^{(p)d(p²

O (fp) = 0.

(11-40)

Pierwsze dwa składniki zależą tylko od r i 0, a ostatni od (p. Można więc dokonać rozdzielenia i podstawić

(11-41)

1 ^C)    7

--=- = -m

O d(p²

z rozwiązaniem ogólnym

(11-42)

O =    m(p)+    j m(p),

lub też

O = y4₁cos(mę?)+ y4₂sin(/w^),

m jest przy tym liczbą całkowitą jeżeli uwzględnić że zależność od (p zmienia się periodycznie z okresem 2n. Po podzieleniu równania (11-40) przez sin² © otrzymuje się

1 d

R(r)di

V

r²^R(r)

dr

)

1

d f . _ d / m²

sin ©£>(©) ć?©

sin© — D(©) dO

sin² ©

= 0.

(11-43)