img050 (21)
I 80
Pierwszy składnik powyższego równania zależy tylko od r, pozostałe od 0. Można więc dokonać podstawienia
I 80
R dr
i otrzymać rozwiązanie ogólne w postaci
R{r)=B]f-n +
= n(n +1),
(11-44)
(H-45)
dające się sprawdzić przez podstawienie równania (11-44) do (11-43) i pomnożenie przez D(Q). Otrzymuje się wtedy
(II-46)
Rozwiązaniami tego ważnego równania różniczkowego są funkcje kuliste. Jako równanie różniczkowe drugiego rzędu ma ono dwa liniowo niezależne rozwiązania np. tzw. przyporządkowane funkcje kuliste pierwszego i drugiego rodzaju. Rozwiązanie przyjmuje skończone wartości dla całej kuli tylko dla pierwszego rodzaju tzn. dla wszystkich wartości kąta 0. Natomiast dla drugiego rodzaju, tzn. dla biegunów 0=0 i 0=# rozwiązania przyjmują wartości dążące do nieskończoności. Dla zadań zawierających bieguny należy wykluczyć więc funkcje drugiego rodzaju. Dlatego zagadnienia brzegowe, dla których istnieją bieguny 0=0 i 0=# nie będą omawiane. Opisane zostaną więc tylko przyporządkowane funkcje kuliste pierwszego rodzaju. Mają one wartości skończone tylko dla całkowitych n i oznacza się je symbolem P™
£)(©)= ?”(cos©), (11-47)
a dla przypadku m—0
£>(©) = P„° (cos ©)=/>„ (cos©). (11-48)
Bardzo często wprowadza się zmienną nazywają się funkcjami kulistosferycznymi. Taką samą nazwę będą nosiły funkcje typu
(11-54)
Ul
Równanie (11-46) przyjmuje wtedy postać
1+
n(n +1)-
m
l-£
Funkcje
C =Pnm(cos0)expOmlp).
Nazwa ta wskazuje na to, że dla stałego r przy zmianach kątów 0 i (p, zostaną ujęte wszystkie punkty na kuli. Różne rodzaje funkcji kulisto-sferycznych są wszystkimi rozwiązaniami równania różniczkowego
1
sin©
v
dG
+
n(n +1) +
1
które powstaje z równania (11-40) jeżeli wydzieli się na początku składnik zależny od r.
P™ można przedstawić wtedy w następujący sposób:
|
('-i’)1 | |
|
O ^ |
JC n+ttJ ^ |
Otrzymuje się wtedy najprostsze funkcje kuliste
P„° =/>(,=!
.0
Pl = ^ = <J = COS0
p2° = />2 =( 1 /2)(3^2 -l)=(l/2)(3cos2©-l)=(l/4)(3cos20 + l)
(11-57)
itd.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
img050 (21) I 80 Pierwszy składnik powyższego równania zależy tylko od r, pozostałe od 0. Można więc
64417 img050 (21) I 80 Pierwszy składnik powyższego równania zależy tylko od r, pozostałe od 0. Możn
IMG35 resize RA* ,« 01-46) **»*"•»* Pierwszy składnik powyższego równm.a zależy tylko od r, po
IMG!54
Reakcja przeprowadzana jest reakcją pierwszego rzędu , ponieważ jej szybkość zależy tylko od stężeni
img012 2 6. F popytu Hicksa zależy N e) tylko od poziomu użyteczności N f) tylko od dochodu kon
Ze wzoru (IV.4) wynika, że praca siły grawitacyjnej zależy tylko od różnicy wysokości, a zatem praca
Systemy z pamięcią i bez pamięci Sygnał wyjściowy systemu bez pamięci w chwili n zależy tylko od syg
zależy tylko od natężenia prądu położenia wektora r poszczególnych odcinków przewodnika, względem
Dewiacja zależy tylko od osoby określonej lub nie jako dewiacyjnej. Mechanizmy, które powodują reakc
— * O - to pole jest nieustalone, zmienne w czasie; dr Jeśli pole temperaturowe zależy tylko od jedn
7 Rozwiązanie: Ciśnienie hydrostatyczne w dowolnym punkcie pod pow ierzchnią cieczy zależy tylko od
0000011 2 17 rozpotrzonye przykładzie założono, że jokoóć wykonywania przez obiekt funkcji zależy ty
152 II. Funkcje jednej zmiennej W tym przypadku liczba <5 zależy tylko od e i jest dobrze dobrana
DSC00197 (6) upą A. 16. Machyleriie linii budżetowej zależy tylko od relacji cen dwóch rozpatrywany
więcej podobnych podstron