IMG35 resize

RA*

,« 01-46) **»*"•»*

Pierwszy składnik powyższego równm.a zależy tylko od r, pozostałe od 0. Można więc dokonać podstawienia

i otrzymać rozwiązanie ogólne w postaci

(11-44)

Funkcje

fi

(11-45)

P_m^m(co*e)coĄmę).

/V(cos0) ttn(męr),

(11-49)

ną ujęte w    ,

cznych są wszy stkimi rozw iązaniami —

J--£i₅in©-^l ₊ n(_{n +} 0+-^7TV(^e^-°-

sin0 ćO\    cO)    Sin* 0 d* ,

•• —się na początku składnik

dające się sprawdzić przez podstawienie równania (11-44) do (11-43) i pomnożenie przez D(O). Otrzymuje się wtedy

(11-46)

Rozwiązaniami tego ważnego równania różniczkowego są funkcje kuliste Jako równanie różniczkowe drugiego rzędu ma ono dwa liniowo niezależne rozwiązania np. tzw. przyporządkowane funkcje kuliste pierwszego i drugiego rodzaju. Rozwiązanie przyjmuje skończone wartości dla całej kuli tylko dla pierwszego rodzaju tzn. dla wszystkich wartości kąta O. Natomiast dla drugiego rodzaju, tzn. dla biegunów 0=0 i 0=/r rozwiązania przyjmują wartości dążące do nieskończoności. Dla zadań zawierających bieguny należy wykluczyć więc funkcje drugiego rodzaju. Dlatego zagadnienia brzegowe, dla których istnieją bieguny 0=0 i 0=/t nie będą omawiane. Opisane zostaną więc tylko przyporządkowane funkcje kuliste pierwszego rodzaju. Mają one wartości skończone rylko dla całkowitych n i oznacza się je symbolem P™

0(0)-ż-(co*©).    (11-47)

a dla przypadku m=0

£>(©)= />_n°(cos0)=/>„(cos0).    (11-48)

Bardzo często wprowadza się zmienną

4 = cos Od 4 = -sin OdO.

nazywają się funkcjami kufisiosferycznym: Taką i*mą r**ą

funkcje lypu

)." - P,"(coie)exp(jmę)    (B-S

Nazwa ta wskazuje na to. że dla stałego r przy mianach »ątó« © i

zostaną ujęte wszystkie punkty na kuli Rożne rodzaje fwrkcji ka

sferycznych są wszystkimi rozwiązaniami równania rozmczko**fo

• A² 1

* (

I —---f—| stnvy*— . I

[sin0r0\, ĆOJ ^au w..

które powstaje z równania (11-40) jeżeli wy dzieii się na początku składnik zależny od r.

P” można przedstawić wtedy w następujący sposób:

,Lili

Otrzymuje się wtedy najprostsze funkcje kuliste

/^,0° = /^>0=>

ą° = fi = £ =cos©

p0 _ p_{2 m} (,    ²-l)=(l łifceo 5^J 0-0 - (l /4X3cos20 ♦ 1)]

<H-

ild

i

(«•*)