metody13

■1 M

■1 M

Istotą_e_ s t y a a c ] 1 p u n k t o w ej jest znalezienie

konkretnej liczby dla każdego szacowanego parametru. Ponieważ Jednak przy szacowaniu nie znanego parametru możemy popełnić błąd wynikający z faktu, że np. wartość średniej w próbie może różnić się od średniej w populacji, przeto przy szacowaniu należy j5w błąd uwzględnić. Błąd ten nosi nazwę błędu standardowego szacunku 1 oznaczamy go D(Tn). Konkretna wartość Jakiegoś szacowanego parametru Q wynosi zatem:

Q = t i D(Tn)    (6.100.)

gdzie t oznacza konkretną wartość statystyki tego parametru w próbie .

Estymacja przedziałowa polega na wyznaćza-niu pewnego przedziału liczbowego^ wewnątrz którego znajduje się - z pewnym prawdopodobieństwem - estymowany parametr. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności, a prawdopodobieństwo tego, że mieści się w nim wartość szacowanego parametru, to tzw. współczynnik ufności. Przedział ufności można zmniejszyć lub zwiększyć (a tym samym zmniejszyć lub zwiększyć współczynnik ufności), dlatego mówimy, iż określamy przedział ufności, który z pewnym prawdopodobieństwem będzie zawierał szacowany parametr. .Zauważmy, że im dłuższy przedział ufności, tym mniejsza precy-z.1a szacowania parametru, ale za to większa jego pewność. Ogólny zapis długości przedziału ufności wyraża się formułą:

P(t - Z^ • D(Tn) < Q < t + D(Tn)) = 1 - <*    (6.101.)

gdzie;

Q - szacowany parametr,

P a 1 -d- współczynnik ufności,

-t - Z^ • D(Tn) - granice przedziału ufności,

- zmienna standaryzowana, wyliczana podobnie jak we wzorze 5.96., której wartość odczytuje się z tablic dla danego poziomu c< (Z^ bywa nazywane wartością krytyczną).

Wyjaśnienia wymaga zapis współczynnika ufności P = 1 - c<. Otóż_ c( jest to poziom popełnienia pewnego błędu w trakcie weryfikacji hipotezy. Nie wdając się w tym miejscu w szersze uzasadnienia, wyjaśnijmy to na przykładzie. Jeżeli przyjmiemy ęC =_ 0,10^ wówczas współczynnik ufności P a 1 - 0,10 c 0,90. Oznacza to, że na 100 wylosowanych ze zbiorowości generalnej prób losowych, w 90 przypadkach wartość interesującego nas parametru Q rzeczywiście znajdzie się wewnątrz założonego przedziału ufności. W 10 przypadkach na 100 popełniamy błąd. Wartość określa się przed badaniem, a z tablic odczytujemy odpowiednią dla (X wielkość zmienne,1. standaryzowanej ?_c-. W naukach społecznych stosuje się najczęściej następujące wąrtości

cc, P i _V

oC    =    0,01 —    P    =    0,99    \    =    2,58

o<    **    0,05 —    P    =    0,95    —■ Z*    =    1,96

oC    =    0,10 —P    =    0,90    —*■    =    1,64

oC » 0,50 -*■ P = 0,50 Z* = 0,67

Oczywiście, w konkretnych badaniach przyjąć można także inne wartości o( i Zj, a jest to uzależnione od kilku elementów - między innymi wielkości próby i merytorycznego celu badania.

Po tym, bardzo ogólnym, przedstawieniu podstawowych zagadnień teorii estymacji przejdźmy do szacowania konkretnych parametrów, przy czym zajmiemy się tylko kilkoma spośród nioh.

6.2.1. Szacowanie średniej arytmetycznej___

Podstawą punktowego szacowania średniej arytmetycznej są wzory:

X = X - D(x)    (6,102.)

gdzie:

d(x ) = ~~    (6.103.)

Tⁿ

<?~W-ę wzorach tych:

( X^r poszukiwana wartość średniej arytmetycznej dla całej popula-; x .-)średnia arytmetyczna próby,