metody13

•114

Istotą e 3 t y m a c ] i p paktowej Jest znalezienie konkretnej liczby dla każdego szacowanego parametru. Ponieważ jednak przy szacowaniu nie znanego parametru możemy popełnić błąd wynikają-cy z faktu, że np. wartość średniej w próbie może różnić się od średniej w populacji, przeto przy szacowaniu należy ów błąd uwzględnić, Błąd ten nosi nazwę błędu standardowego szacunku i oznaczamy go D(Tn). konkretna wartość jakiegoś szacowanego parametru Q wynosi zatem:

Q = t - D(Tn)    (6.100.)

gdzie t oznacza konkretną wartość statystyki tego parametru w próbie.

Estymacja przedziałowa polega na wyznaćza-nlu pewnego przedziału liczbowego, wewnątrz którego znajduje się - z pewnym prawdopodobieństwem - estymoy/any parametr. Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności, a prawdopodobieństwo tego, że mieści się w nim wartość szacowanego parametru, to tzw. w s p__ó_ łczynnik ufności. Przedział ufności można zmniejszyć lub zwiększyć (a tym samym zmniejszyć lub zwiększyć współczynnik ufności), dlatego mówimy, iż określamy przedział ufności, który z pewnym prawdopodobieństwem będzie zawierał szacowany parametr. .Zauważmy, że lm dłuższy przed ziaj jifności, tym mniejsza precy-z.1a szacowania parametru, ale za to większa jego pewność. Ogólny zapis długości przedziału ufności wyraża się formułą:

P(t - Z^ • D(Tn) < Q < t + Z^ • D(Tn)) * 1 - <*    (6.101.)

gdzie:

Q - szacowany parametr,

P = 1 -d- współczynnik ufności,

-t - Z^ • D(Tn) - granice przedziału ufności,

- zmienna standaryzowana, wyliczana podobnie jak we wzorze 5.96., której wartość odczytuje sią z tablic dla danego poziomu c( (z^. bywa nazywane wartością krytyczną).

Wyjaśnienia wymaga zapis współczynnika ufności P = 1 - c<. Otóż o( jest to poglom popełnienia pewnego błędu w trakcie weryfikacji hi po-

tezy. Nie wdając się w tym miejscu w szersze uzasadnienia, wyjaśnijmy to na przykładzie. Jeżeli przyjmiemy=_ 0,10, wówczas współczynnik ufności P = 1 - 0,10 g 0,90. Oznacza to, że na 100 wylosowanych ze zbiorowości generalnej prób losowych, w 90 przypadkach wartość interesującego nas parametru Q rzeczywiście znajdzie się wewnątrz założonego przedziału ufności. W 10 przypadkach na 100 popełniamy błąd. Wartość ci określa się przed badaniem, a z tablic odczytujemy odpowiednią dla (X wielkość zmiennej standaryzowanej 3_C-. W naukach społecznych stosuje się najczęściej następujące wąrtości

cc, P i V

o(    =    0,01 —    P    =    0,99    -*•    \    =    2,58

o<    =*    0,05 —    P    =    0,95    —*■    \    =    1,96

oC    =    0,10 —*■    P    =    0,90    -*•    Z_d    =    1,64

<rf    «    0,50 —    P    =    0,50    —    Z*    =    0,67

Oczywiście, w konkretnych badaniach przyjąć można także inne wartości oC i a jest to uzależnione od kilku elementów - między innymi wielkości próby i merytorycznego celu badania.

Po tym, bardzo ogólnym, przedstawieniu podstawowych zagadnień teorii estymacji przejdźmy do szacowania konkretnych parametrów, przy czym zajmiemy się tylko kilkoma spośród nioh.

6.2.1. Szacowanie średniej arytmetycznej

Podstawą punktowego szacowania średniej arytmetycznej są wzory:

X = x - D(x)    (6.102.)

gdzie:

d(x) = —I^    (6.103.)

-j/n

,^n7-e wzorach tych:

^ J.J- poszukiwana wartość średniej arytmetycznej dla całej popula-

•}r*\ ^c;Jⁱ*    . -

( 5 .-)średnia arytmetyczna prćhy,