obraz6 3

157

i po w rerztiui ixj we

b) Stosujemy wzór (4), w którym: f(x,y,z) =x²y² + x^z2² +y^zz², g(x y) = fcVx*+y* p. xⁱ+y²-2ox<0. Mamy    *    ^y*

I - JJ(*V+x V +A²> ^ =

s

dx dy —

= ffrxV+(x^ł+y^I)fc^z(x^z+_y^ł)i./i+r-^Ł?I?" fcy V

•y    ^V W*²+yv VV?T?J

= JJ [* V+fc²(x^! +y²)² Vl+A^]dxd>.

B

Podstawimy współrzędne biegunowe: x = r cos ę>, j/ = rsin ę>; stąd

\0<r<2acos ę>,

zatem

•    Jt/2 2a cos 9

/=Vl+fc² J    f (r⁴cos² psin² ę> + fc²r⁴)rdr =

-n/2    0

_ ₆ «/2

•=Vl+fc²^ J (cos² ę>sin² ę> + k?)a⁶cos⁶ <pd(p =

-"12

_r_ *12

=^a⁶ V1 + k² J (cos⁸ <p sin² q> + k² cos⁶ q>)d<p = o

*.±na⁶(SQk² +7)Vl+fe².

•12    *12

Całki J cos*<p sin² <pd<p i J cos⁶ ęd<p obliczyliśmy, korzystając ze wzoru o    o

*12

_2n (2n —l)*(2n —3)*... *3 -1 tt

cos a>d<p=--•--

2n*(2n—2)*... *4*2    2

o

c) W tym przypadku zastosujemy wzór

JJ f(^x> y,z)dS= JJ/[x, h(x, z), z] Vl +h²+h²dxdz s    d

wynikający ze wzoru (3), gdzie f(x,y, z)=y, h(x, z)=y=\(x²+z²) (por. rys. 65) oraz obszar D jest rzutem powierzchni Sna płaszczyźnie Oxz. Otóż linią przenikania powierzchni *\i²*=ly i x² +z² =y² jest punkt 0(0,0,0) i okrąg: y—2, x²+z² =4, skąd D: x²+z² <4. Zatem

/ = JJ ydS** JJ Ux²+z²) yjl +x²+z²dxdz.

S    D

Podstawiając współrzędne biegunowe x=r cos ę?, z—r sin (p, mamy

/=f J r²sfl+r²rdr J dę=n J r³V1 + r²dr(1 +25*>/5). oj    oo