Obraz9 (78)

Algorytm Euklidesa jest ogólny, jednoznaczny i efektywny. Efektywność algorytmu zapewnia znane twierdzenie arytmetyki, gwarantując, że ciąg reszt wyznaczonych według algorytmu jest skończony i że ostatnia różna od zera reszta jest największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb, do których algorytm zastosowaliśmy. Jest jednoznaczny, co również wynika z twierdzeń arytmetyki (jednoznaczność reszty z dzielenia) i ogólny, bo zawiera parametry, a więc prowadzi przy odpowiednim podstawieniu do obliczenia największego wspólnego dzielnika dowolnie zadanych dwóch liczb naturalnych.

Algorytm Euklidesa jest przykładem algorytmu numerycznego. Operatywny charakter matematyki pozwala na konstruowanie rozwiązań wielu problemów w postaci algorytmów nienumerycznych. Do takich problemów należą klasyczne zadania konstrukcyjne.

Genezą klasycznych zadań konstrukcyjnych była metoda dedukcyjna. Konstrukcje stanowiły bowiem dla Euklidesa dowody istnienia obiektów geometrycznych; geometryczny obiekt mógł być definiowany tylko wtedy, gdy można było go wyznaczyć przez skończony ciąg elementarnych konstrukcji: wyznaczanie prostej, gdy dane są dwa różne punkty tej prostej, okręgu, gdy dany jest jego środek i promień, oraz punktów wspólnych dla poprzednio w ten sposób wyznaczonych okręgów i prostych. „Istnienie” prostych i okręgów tak zdefiniowanych było zastrzeżone w aksjomatach i postulatach, istnienie punktów przecięcia prostych, okręgów oraz prostych z okręgami w pewnych szczególnych przypadkach u Euklidesa było milcząco przemycane (brak było aksjomatów ciągłości). W nauczaniu geometrii tradycyjnej zadania konstrukcyjne nie miały już w świadomości ucznia tego metodologicznego sensu, a zmiana aksjomalyki w ogóle czasem ten metodologiczny sens eliminowała. Niemniej uważano te zadania za kształcącą inwencję twórczą ucznia oraz za bardzo dobre ćwiczenie w stosowaniu poznanych twierdzeń geometrycznych i ich dowodzeniu (bo poprawność konstrukcji trzeba było udowodnić). Obecnie w nowym układzie kursu geometrii konstrukcje przy ograniczonych środkach, innych niż klasyczne, mogą mieć nadal metodologiczny sens jako dowody istnienia (na przykład przez konstruowanie równoległych w płaszczyźnie afinicznej, realizowane materialnie za pomocą translatora). W innych układach niektóre konstrukcje klasyczne, realizowane materialnie w rysunkach cyrklem i linijką jeszcze ciągle są uważane za pożyteczne i kształcące. Obserwacja pracy uczniów pokazuje jednak, że często nie rozumieją oni sensu tych ograniczeń. Obserwowaliśmy te trudności, gdy uczeń dwunastoletni rozwiązujący zadanie „skonstruować styczną przechodzącą przez dany punkt” ustawiał po prostu linijkę tak, że narysowany na kartce punkt leżał na brzegu tej linijki, i obracał ją tak długo dokoła tego punktu, aż ten brzeg „zetknął” się z narysowanym okręgiem. Uczeń twierdził, że przecież zadanie rozwiązał cyrklem i linijką, że innego instrumentu nie stosował. Tego rodzaju nieporozumienie w ogóle się nie pojawia u młodszych uczniów, gdy umówimy się z nimi, że mają przygotować ciąg „rozkazów” dla fikcyjnej maszyny, która umie wykonać tylko pewne, ściśle określone czynności. Wyobrażamy sobie, że maszyna jest zaopatrzona w ekran, który może się rozszerzać jak tylko potrzeba, i jest ona tak skonstruowana, że możemy jej wydawać pewne rozkazy które wykonuje ilustrując rezultat rysunkiem na ekranie. Gdy się wymieni nazwy dwu różnych punktów, narysuje na ekranie te punkty i przechodzącą przez nie prostą, gdy się jej podobnie wskaże punkt i parę różnych punktów, narysuje okrąg, którego środkiem jest ten punkt, a długością promienia odległość punktów tej pary: maszyna umie wskazać i oznaczyć punkty przecięcia prostych z prostymi, okręgów z okręgami, prostych z okręgami.

Zakładamy też, że nasza maszyna umie wybrać „losowo” tyle punktów, ile ich będzie potrzeba, w danej prostej i poza nią, w danym okręgu i poza nim, między dwoma danymi punktami w prostej i na zewnątrz odcinka wyznaczonego przez te punkty w tej prostej. Maszyna umie rozpoznać, czy wskazany jej punkt należy do wskazanej prostej, do wskazanego okręgu, czy do nich nie należy, i umie nam to zasygnalizować na przykład napisem na ekranie. Poza tymi rozkazami i poleceniami odpowiedzi maszyna żadnego innego rozkazu nie rozumie. Zabawa polega na tym, że jeden uczeń wydaje rozkazy, drugi jest maszyną, która automatycznie tylko wykonuje te rozkazy. Jeżeli otrzyma rozkaz inny niż ten, który jest przewidziany w jej budowie, nie wykona rozkazu, zatrzyma się, daje sygnał: „nie rozumiem”.

Po analizie zadania i odkryciu sposobu konstrukcji uczniowie sporządzają na osobnej karcie organigram czynności maszyny. Zilustrujemy to na przykładzie konstrukcji punktu symetrycznego do danego punktu względem danej prostej (symbole pr M N. o(0, AB) oznaczają odpowiednio prostą, do której należą punkty M, N, oraz okrąg, którego środkiem jest punkt O i długość promienia jest równa odległości punktów A, B, S_a (A) - punkt symetryczny do punktu A względem prostej a (rys. 24)).

265