P3200280

140

1° zbiór posty (układ równań jest sprzeczny; R(A) jć R(U)),

2° jeden punkt P(*o. po, zq) (układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie: *o = irJS Ito = fy, *o = gdy W = det A ± 0; R(A) = P(£0 = 3),

3° prostą (okład równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru; R(A) = R(U) = 2),

4° płaszczyznę (okład równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od dwóch parametrów; R(A) = R(U) = 1).

G2. Wyznaczyć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty Pi(3,0, —2), Ą(l,0,2) i prostopadłej do płaszczyzny x+2y—z = 0.

Mamy wektor Ni = [1,2,— 1], który jest prostopadły do danej płaszczyzny O]: x + 2y — z = 0. Szukana płaszczyzna a przechodzi przez punkt P₂(l,0,2), więc a : A(x - 1) + B(y - 0) + C(z — 2) = 0,

Ń=:[A,B,C] la.    .

Płaszczyzna a jest prostopadła do

płaszczyzny a*, więc Ń J. Ń\, ponadto mamy

Ń ± KK = [-2,0,4].

Zatem

=> Ń II ąH X N\, np. Ń = P₁P₂xŃ₁.

Ń Ł Ni

7\K*Ńi =

= -8 • «+ 2    4 • k = [-8,2, -4] = -2 • [4, -1,2]

Możemy przyjąć N = [4, —1,2] oraz równanie płaszczyzny a zapisać w postaci

a : 4(® -1) - l(y - 0) + 2(z — 2) = 0

4® — 4 — y + 2z — 4 = 0 4®-y + 2z-8 = 0.

Odp.: Szukana płaszczyzna ma równanie 4® - y + 2z - 8 = 0.

GS, Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

Ą(l,3.-1) i przez oś OZ (tzn. oś OZ zawiera się w szukanej płaszczyźnie).

Szukana płaszczyzna o przechodzi przez punkt Po(l,3, -1), stąd

o:A(*-l) + fl(»-3) + C(i + l)aO,

Oś OZ zawiera się w płaszczyźnie a, więc np. Pt(0.0,0) € o oraz £ || a, gdzie £ = [0,0,1] jest wersorem osi OZ.

£ = [0.0,1] || a; Pi € a; P₀ € a P^ = [l,3,-l]||a

Pi Po i| k

Równanie płaszczyzny a zapiszemy w postaci parametrycznej

!I = 0 + 0 • t + 1•«    [ I = J

gdzie t, s ę R.

p = 0 + 0- t + 3- s,    czyU < y = 3s

z = 0 + 1 • t -1 • s    V * — l — s

(W równaniach parametrycznych wykorzystane zostało, że płaszczyzna przechodzi również przez punkt Pi (0,0,0).)

Jeżeli chcemy otrzymać równanie ogólne płaszczyzny, to musimy wyznaczyć wektor iV; Ń || £ x P\ P<j.

k X Pi Po =

0

1

3

0

3

£

1

-1

—3-T+l-J+0-£ = [-3,1,0]

Zatem możemy przyjąć N — [—3,1,0].

Uwzględniając, że płaszczyzna a przechodzi przez punkt (0,0,0), dostajemy

a : —3(z - 0) + l(y - 0) + 0(* - 0) = 0 - 3z + y = 0.

Odp.; Równanie szukanej płaszczyzny ma postać —3x -f y = 0.