PC043393

Przykład 1.91

Wielomian W(x) = 2x⁴ + 5x~ -&xr ~8x + 4 jest przykładem wielomianu stop* czwartego o współczynnikach całkowitych a₄ - 2, a₃ = 5, a₂ = r*3*«,= 4$.’ a_{, -- 4. Wykresem tęgo wielomianu jest krzywa wielomianowa zaznaczona« ilustracji 1.49.

ilustracja 1.49. Wykres wiełomianij W(x) = 2x⁴ + 5^ - Sr² -    + 4

iftx) = Zx + sy- 3.x - 8x+ 4

-2 -1

Uwaga 1.32. Szczególnymi przypadkami wielomianu są funkcja liniowaśk funkcja kwadratowa.

Następujące twierdzenie podaje, jak w praktyce sprawdza się rowu# wielomianów.

Twierdzenie 1.13. Dwa niezerowe wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy. gdy:

•    są tego-samego stopnia,

•    mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach.

Przykład 1.92

Aby wielomiany W(x) .= Ąa + b -1 ja:⁴ + 3a? - z² + (22> + 1) * - 2 oraz Q(x) = 3* +** + ox - 2byly równe, wielomian W⁷musi byc stopnia trzeciego, czyli a + b -1 = 0. Ponadto ich współczynniki przy x muszą być równe. tzn. 2ó +1 =,a. Oznacza (to, że wielomiany W oraz Q są równe dla tych wartości a i b, które spełniają układ równań:

| a+b—1=10 j 2i&4- 1 - a

Rozwiązując itfja układ wybraną metodą, widzimy, że dane wielomiany są równe dla a -1 i b =*0.

Określenie własności wielomianu wymaga bardziej zaawansowanego warsztatu matematycznego (por. przykłady 730-732,735). W niektórych przypadkach możliwe jest jednak wyznaczenie miejsc zerowych funkcji wielomianowej, czyli wszystkich takich argumentów, dla których W{x)=0.

Poniższe twierdzenie mówi o istnieniu i liczbie miejsc zerowych wielomianu.

Twierdzenie 1.14

a)    Każdy wielomian stopnia n może mieć co najwyżej u pierwiastków rzeczywistych.

b)    Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Wyznaczając miejsca zerowe funkcji wielomianowej, korzystamy z trzech twierdzeń: Bezout, o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowi tych oraz o rozkładzie wielomianu na czynniki.

Poniżej przedstawimy każde z nich wraz przykładami ich zastosowania.

Ityierdzenie 1.15. liczba r jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian* - r.

D Uwaga 1.33. Przypomnijmy, że wielomian W jest podzielny przez dwumian (* - /■), jeśli istnieje niezerowy wielomian Q, taki że W(x) = (x - r) ■ Q(x).